OliForum Matematico

Riguarda il passo base della tua induzione...

Sia $ABC$ un triangolo e siano $D$, $E$ due suoi punti interni tali che valgano le congruenze $\widehat{EAB} \cong \widehat{DAC}$, $\\ \widehat{EBA} \cong \widehat{DBC}$, $\\ \widehat{ECA} \cong \widehat{DCB}$. Dimostrare che le proiezioni di $E$ sui 3 lati di $ABC$ appartengono a una circonferenza ...

Si consideri un sottoinsieme $D$ del piano contenente un numero finito di punti $N$.
(i) Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con coordinate $x_1$ e $x_2$, si considerino la proiezione $D_1$ di $D$ sull'asse $x_1$ e la proiezione $D_2$ di $D$ sull'asse $x_2$. Detti $N_1$ e $N_2 ...

Sia $\mathbb{Z}^+$ l'insieme degli interi positivi. Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ che soddisfano le seguenti proprietà:
(i) per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$ vale $f(f(n)) \leq$ $\displaystyle \frac {n +f(n)}{2}$
(ii) per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$ vale $f(n) \leq f ...

A Treviso il cutoff è 69 e il punteggio del primo escluso è 68.

Trovare tutti i numeri primi $p$ tali che:
\[
p \cdot (2^{p-1} -1) = n^k
\]
con $n$ intero positivo e $k$ intero positivo $> 1$.

Spoiler!

Mi iscrivo anche io, dai!

Noto che $n = 2^m$ funziona per ogni $m \in \mathbb{N}$. Infatti dato che $\varphi \left(2^a \right) = 2^{a-1}$, scelgo $x = 2^{m +k}$ e ottengo:
\[
\varphi^k \left(2^{m +k} \right) = 2^m
\]
Fatto: se $n$ non è una potenza di $2$, allora $v_2 \left(\varphi \left(n\right) \right) \geq v_2 \left(n ...

condor ha scritto:Ciao, sono Bertoli Davide.
E' la prima volta che partecipo a uno stage.

C'è qualcuno che parte da Venezia...o dal Veneto, che ha voglia di fare il viaggio in compagnia?

Tranquillo, il Veneto è tipo secondo come numero di stagisti ammessi Ad esempio, già a Venezia dovresti trovare noi trevigiani!

Troleito br00tal ha scritto:

Leonida ha scritto:In bocca al lupo a tutti! In particolare al mio compaesano, nonché unico membro della squadra che ha giocato nel main event calcistico del PreIMO!

Ci sarà un motivo

Tu e le tue ridicole scuse per non giocare.

In bocca al lupo a tutti! In particolare al mio compaesano, nonché unico membro della squadra che ha giocato nel main event calcistico del PreIMO!

Parlate male e rovinate i TST... Ma siete simpatici, quindi vi sopportiamo
Per restare in topic, concordo con benzo494 per l'IMOteam!

Temo l'ira del grande re spartano al riguardo...
Il grande re è famoso per i suoi attacchi di rabbia, non avrei voluto essere vicino a lui subito dopo alla gara...
Ma no, ultimamente sono una persona tranquilla :D Più che rabbia, rimane il rammarico di non aver nemmeno visto il testo del ...

Sia $P$ l'espressione da minimizzare. Mi accorgo che $ 1 -P = (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)$.
Ora applico $AM-GM$ a $(1-a, 2-2b, 3-3c, 4 -4d)$ e ottengo:
\[
\sqrt[4]{(1-a)(2-2b)(3-3c)(4-4d)} \leq \frac{1-a +2 -2b +3 -3c +4 -4d}{4} = \frac{10 - (a +2b +3c +4d)}{4}
\]
\[
\sqrt[4]{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}\sqrt[4 ...