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Grazie Jordan.

Scusate, cosa significa "insieme sindetico" e "densità positiva"?

Supponiamo $n\geq 7$ allora $7\mid 4n!$, ora se poniamo il quadrato in questione uguale a $k^2$ allora $k^2=5\left (1+2^{3n}+4n!\right )\equiv 5\left (1+1^n+0\right )\equiv 3\pmod 7$, assurdo perchè $3$ non è un residuo quadratico modulo $7$ quindi $n\le 6$ e questi casi si fanno velocemente a mano.

Io penso sia una bella idea scambret, piú materiale e piú allenamento possibile sono sempre una cosa positiva. Mi chiedo solo una cosa, dopo aver proposto i problemi pubblicherete delle soluzioni ufficiali? (spero di si perchè per confrontare i metodi di risoluzione oppure per capire perchè un certo...

Ci provo. :wink: Allora riscrivo l'espressione come $3x^2+x=3y^2+y^2+y $ poi isolo $y^2$ al $RHS$ e ottengo $3x^2+x-3y^2-y=y^2$. Metto a fattor comune e scompongo: $3(x^2-y^2)+x-y=y^2$ ovvero $3(x+y)(x-y)+(x-y)=y^2$ ed ora al $LHS $ posso raccogliere $x-y$ per ottenere $(x-y)(3x+3y+1)=y^2$. Poniamo ...

Intanto proverei dalla parte piú facile... Allora dimostriamo la disuguaglianza di sinistra, ovvero che $xy+yz+zx-2xyz\ge 0$. Essa è equivalente a $xy+yz+zx-3xyz\ge -xyz $ ovvero $(xy-xyz)+(yz-xyz)+(zx-xyz)\ge -xyz $ e mettendo a fattor comune otteniamo $xy(1-z)+yz(1-x)+zx(1-y)\ge -xyz$ e ricordando...

Per curiosità FedeX333X, da dove viene questo esercizio?

FedeX333X ha ragione, piú in particolare cerca "Problema di Frobenius" (sarebbe gradita magari nel glossario cosí come hanno fatto per le baricentriche, anche una spiegazione sul problema di Frobenius...).
Questo es proviene da un vecchio Gas cmq...

Grande Talete!
La tua soluzione ancora non l'ho letta per bene, ma mi sembra buona.

Per ogni intero $a_0 > 1$, si definisce la successione $a_0, a_1, a_2, \ldots$ tale che per ogni $n \geq 0$: $$a_{n+1} = \begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{se } \sqrt{a_n} \text{ è un intero,} \\ a_n + 3 & \text{altrimenti.} \end{cases} $$ Determinare tutti i valori di $a_0$ per cui esiste un ...

Si giusto @Sirio ho letto velocemente e ho sbagliato e ho risolto invece questa qui (ecco il perche di quelle funzioni e di quel risultato che ho scritto)
$f(xf(y))+f(yf(x))=2xy$

Cmq un altro modo semplice e veloce per dire che $f(0)=0$ é porre $x=y=0$ e si nota subito.

Hai ragione Talete! (infatti avevo fatto i calcoli e mi sembrava che quelle fossero tutte le soluzioni, cosí ho detto a occhio saranno solo quelle lì...)
Cmq scusa, ma non capisco cosa intendi con quella linietta che usi nella spiegazione "$\mapsto$"?

Boh così a occhio direi che funzionano solo
$f(x)=x$ e
$f(x)=-x $

Hai ragione @matematto non ci avevo pensato, bella trovata...
allora ora ci penso un po'.