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Detto $\triangle{ABC}$ il triangolo di partenza e usando le notazioni proposte dagli utenti che mi hanno preceduto, per mostrare che il minimo di $PA+PB+PC$ è $\sqrt{3}$ senza ricorrere a ragionamenti di tipo analitico si potrebbe considerare il triangolo $\triangle{A'B'C'}$ di cui $\triangle{ABC ...

Volendo è possibile snellire il discorso ricorrendo al concetto di ordine moltiplicativo e sfruttando il teorema di Lagrange : ci interessa l'ordine moltiplicativo di 10 modulo 97 , quindi per Lagrange deve essere ord_{97}(10) \mid \phi(97)=96 , e con argomenti comuni a quelli presenti nel post ...

Per A. si può notare che se p \ge 5 allora è necessariamente della forma 6k+5 per qualche k \in \mathbb{N} , infatti se fosse della forma 6k+1 si avrebbe q=(6k+1)+2=3(2k+1) e q non sarebbe primo, per cui q=(6k+5)+2 \equiv_{6} 1 , da cui p+q \equiv_{6} 5+1 = 6 \equiv_{6} 0 , ossia 6 \mid p+q

Per B ...

Sia 0<a<96 naturale tale che (a,96)=1 , allora esistono naturali k_1,k_2 tali che |96k_1-ak_2|=1 , e quindi se 10^a \equiv_{97} 1 si avrebbe anche (10^{96})^{k_1}-(10^a)^{k_2} \equiv_{97} 0 \rightarrow (10^{ak_2})(10^{96k_1-ak_2}-1) \equiv_{97} 0 , ma 97 \not \mid 10^{ak_2} , dunque dovrebbe essere ...

Per evitare le derivate:

ricaviamo dapprima l'espressione per P(x)

\displaystyle \boxed{P(x)}=\sum_{i=0}^{2015}{(-x)^i}=\frac{1-(-x)^{2016}}{1-(-x)}=\boxed{\frac{1-x^{2016}}{1+x}}

Assumendo 0<|x|<1 (ci interessano solo i coefficienti del polinomio!), sostituendo 2015 con un generico n e ...

E hai ragione, infatti quel che ho dimostrato è:

a^3+b^3+c^3+3 \ge 2(a^2+b^2+c^2)+[6-2(ab+ac+bc)]

e

2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(a^2+b^2+c^2)+[6-2(ab+ac+bc)]

e da queste due ho dedotto

a^3+b^3+c^3+3 \ge 2(a^2+b^2+c^2)

In pratica lo stesso errore commesso in precedenza.
Cerco un'altra strada, da ...

Infatti è terribilmente falsa: ho invertito un segno di diseguaglianza :roll:
Dalla parte precedente, che a quanto ho capito ti convince, abbiamo

a^3+b^3+c^3+3 \ge 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)+6

Quindi deve valere \displaystyle 6-2(ab+ac+bc) \le 0 \Rightarrow ab+ac+bc=\frac{1}{a}+\frac{1}{b ...

Invece, consideriamo

a^3+b^3+c^3-3

abc=1 , allora possiamo riscrivere l'espressione sopra come

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\ge 3(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=

2(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2)-3(ab+ac+bc) \ge 2(a^2+b^2+c^2) -2(ab+ac+bc) \le 2(a^2+b^2+c^2)

Dove ho utilizzato AM-GM ...

Non so se ho ben capito quel che intendi, ma

x^2\equiv p+k \pmod p , con 1 \le k \le p-1 , allora x^2 \equiv k ridotto modulo p , e 1 \le k \le p-1 .

Secondo me ti stai ponendo nel modo sbagliato nei confronti della definizione: un residuo quadratico è un numero a che viene generato da un ...

a è un residuo quadratico modulo p se e solo se esiste un x tale che

x^2 \equiv a \pmod p

Sotto spoiler metto una roba un po' casereccia per contarli:

Proviamo prima due casi facili da controllare: mod 5 e mod 7.

0 \longrightarrow 0 \equiv 0 \pmod p
1 \longrightarrow 1 \equiv 1 \pmod p ...

Quello che intende dire Lasker è che il k-piede agisce esattamente n volte su ognuna delle k zampe.
Se chiamiamo a_i una azione del k-piede sulla i -esima zampa, allora tutti i modi di vestirsi sono dati dagli anagrammi di una parola con n a_1 , n a_2 , n a_3 ,..., n a_k :

\displaystyle \frac{(nk ...

Poiché quella sopra è scritta orrendamente provo a scriverla meglio (l'idea di base è la stessa ma riduco i casi a due).

Prendo un triangolo equilatero, per pigeonhole due lati di questo hanno lo stesso colore (WLOG sono neri).
Adesso considero il vertice di colore diverso come il centro di un ...

L'esagono ha le diagonali tutte della stessa lunghezza [non proprio tutte, ma quelle usate da me (ossia quelle che sono anche diagonali dei rombi formati coi vari triangoli equilateri) dovrebbero esserlo].

Costruisco un'esagono regolare (indubbiamente posso): il centro è di uno dei due colori, WLOG ...

Yep, sinceramente nonostante Zeitz abbia definito "migliore" il metodo che utilizza il pigeonhole io preferisco molto di più quello con la circonferenza (è semplicemente geniale ) :lol:

Spero non pensiate che abbia riciclato la soluzione tanto per spiaccicarla qui e dire "so risolvere il problema ...

Bel problema :D

Sia r_n il numero di ricoprimenti possibili di un rettangolo r \times 2 .
A questo punto preso un rettangolo r\times 2 divido il problema in due "sottosezioni":

K : inserisco un pezzo verticalmente sull'estrema destra in modo da ricoprire le ultime due caselle.

j : inserisco ...