OliForum Matematico

Si narra che in una vecchia selezione di Cesenatico, composta da 100 ragazzi, ogni ragazzo per la gara avesse un preciso posto a sedere. Ci fu però un piccolo intoppo. Il primo ragazzo che entra nell'aula adibita alla gara, causa una notte di baldoria, si dimentica il proprio posto e quindi si siede ...

Indichiamo con A e B i due candidati (non è necessario sapere chi dei due sia Berlusconi o Veltroni, non voglio mica fare propaganda elettorale!).
Supponiamo che alla prossima elezione, che si terrà in aprile, A ottenga a voti e B ne ottenga b . Se A vince le elezioni, dimostrare che \displaystyle ...

Intanto \displaystyle \int_0^{+\infty}\sin{x^2}dx=\int_0^{+\infty}\frac{\sin{x}}{2\sqrt{x}}dx (basta eseguire la sostituzione x=\sqrt{t}) .
Inoltre è ben noto che \displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} .
Da quest'ultima relazione è facile ottenere l'identità:
\displaystyle ...

Consideriamo per t \ge 0 la funzione f(t)=\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}e^{-tx}dx .
A questa funzione si può applicare il teorema di derivazione sotto il segno di integrale (per maggiori dettagli consultare un qualsiasi testo di analisi 2).
Dunque f^{'}(t)=\displaystyle \int_0 ...

Vengono archi di circonferenza.

Si prendono su una circonferenza tre punti: $ A,B $ fissi e $ P $ variabile. Sia $ M $ il punto medio della spezzata $ APB $, determinare il luogo descritto da $ M $ al variare di $ P $ sulla circonferenza.

Ok.
Questo è il secondo, e ultimo, punto dell'esercizio.
Sia $ P $ un punto interno di un triangolo $ ABC $.
Sapendo che $ \angle{PAB}=\angle{PBC}=\angle{PCA}=30° $,
dimostrare che anche in questo caso il triangolo $ ABC $ è equilatero.

Sia $ G $ il baricentro di un triangolo $ ABC $.
Sapendo che $ \angle{BAC}=60° $ e $ \angle{BGC}=120° $,
dimostrare che $ ABC $ è equilatero.

La dimostrazione probabilistica è un tantino tecnica.
Sia Z_n una variabile di Poisson di parametro n .
Utilizzando, ad esempio, la funzione caratteristica si dimostra che
P(\dfrac{Z_n-n}{\sqrt{n}} \le a)->P(N(0,1) \le a)
ovvero \dfrac{Z_n-n}{\sqrt{n}} tende in distribuzione a una Normale ...

Se ho capito bene, parti dal presupposto che i punti A, P, C sono allineati, cosi' come i punti B, P, D. Questo però va dimostrato.

Sia $ ABCD $ un quadrilatero convesso.
Dimostrare che se esiste un punto $ P $ interno al quadrilatero tale che
$ \angle{PAB} = \angle{PBC} = \angle{PCD} = \angle{PDA}=45° $
allora $ ABCD $ è un quadrato.

Sia $ ABC $ un triangolo equilatero.
Determinare il luogo dei punti $ M $ interni al triangolo tali che
$ \angle{MAB}+\angle{MBC}+\angle{MCA}=\dfrac{\pi}{2} $.

P.S. ho corretto!

Sia P un punto interno di un triangolo ABC.
Siano H e K i piedi delle perpendicolari condotte da P ai lati AC e BC, rispettivamente.
Siano inoltre L e M i piedi delle perpendicolari condotte da C a AP e BP, rispettivamente.
Dimostrare che HM, LK e AB concorrono.

Forse ho sbagliato qualche calcolo, comunque mi viene 180.

Per definizione
$ |r'(t)|=\sqrt{r_1^{'} (t)^2+r_2^{'} (t)^2} $.
Nel tuo esercizio
$ r_1(t)=cost $
$ r_2(t)=2*sent $
$ |r'(t)|=\sqrt{sen^2t+4cos^2t} $.