OliForum Matematico

davvero carine queste idee... in sostanza se non sbaglio mi dimostri questo fatto particolare, che poi pare duttile e modificabile in vari contesti magari con ipotesi leggermente diverse (anelli, campi generici):

- Dato un sottoinsieme A di F_p se esiste un elemento x diverso da 1 t.c. xA=A, allora ...

se a<p-1, allora \displaystyle\sum_{x\in\mathbb{F}_p}x^a=0

si più chiaro ora grazie :wink: ...

questo passaggio riesco a giustificarlo solo attraverso l'uso in un generatore modulo p ed un po' di calcoli... ma il tuo "chiaramente" mi dice chi probabilmente l'hai visto in un modo più facile ...

federiko97 ha scritto: $ \displaystyle\sum_{x,y\in\mathbb{F}_p} 1-(x^2+y^2+1)^{p-1}=\sum_{x,y\in\mathbb{F}_p} -(x^2+y^2)^{p-1} $

potreste chiarirmi questo passaggio?

prendiamo un quadrato con lato 45... con 45^2=2025 quadratini di lato unitario...

sostituiamo due blocchi 3x3 con un quadrato grooso, avendo tolto per ogni blocco 9 quadratini piccoli ed avendone aggiunto uno grande, il totale è diminutio di 8... facendo questo lavoro due vole si divide il quadrato ...

Ogni tanto bazzico inosservato da queste parti... a suo tempo avevo letto questo problema, simile ad uno che non riuscivo a fare tempo fa e mi sono detto: quando ho tempo e voglia ci provo... ecco qua:

Ad ogni punto si può associare in modo naturale un cerchio, quello con il centro nel punto ...

Forse intendete $ r $ intero?

si... più elegante esibirla così in effetti...

cmq la funzione che ho mostrato si dimostra facilmente che è continua. Se siano lontani da un intero è somma di funzioni continue. Se siamo vicini ad un intero, si vede che i due limiti sono uguali, infatti sia a l'intero in esame:

- limite da destra ...

mates??? ... dai su, come ti sembra la sol sopra?... io non è che ne sia poi convinto...

Prima parte:
Sia f la funzione data. Allora g(x)=f(\frac{x}{a}) è una funzione continua su [0;n] . La tesi equivale a dire che la g possiede una corda orizzontale di lunghezza 1. Inoltre possiamo suppore g(0)=g(n)=0 . Supponiamo inoltre g(1)>0 (l'altro caso negativo è analogo, se g(1)=0 avremmo ...

Sì, questo è più o meno quello che intendevo. Mi sembra più semplice che la prima dimsotrazione che hai postato. Diventa ancora un pochino più semplice applicando Lagrange nella forma uguaglianza piuttosto che disuguaglianza.

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(y)
per qualche y tra x e x+h e poi passi al ...

NM: a me pare che funzioni...
però.. c'è una soluzione più breve...
piccolo (piccolissimo, eh) hint:
de l'hopital

non mi era venuto in mente! Sarà perchè non ho mai utilizzato in vita mia quel teorema? :wink: ...
cmq perchè scomodare il marchese se basta un semplice valor medio ??? (ok! perchè ...

non sono convinto, cmq... suppongo che i limiti delle derivate siano 0 e che f(0)=0. Poi gli altri casi si faranno analogamente. Prendo un h piccolo a piacere. in [0,h] le ipotesi del teorema del valor medio sono verificate, quindi

|f(h)|<= \sup_{x \in (0,h)} |f'(x)|*h

e quindi

|f(h)/h ...

Beh... ma è vero o no? non l'ho ancora capito :!:
perchè quanto ho scritto sul mio blocco è semplice... devo dedurre che esiste un contro-esempio "facile"??
ho usato degli integrali per comodità (e perchè cercavo un contro-esempio!), ma avrei potuto seguire lo stesso procedimento anche solo con il ...

boh a me viene che è vero :? ... ho provato a scrivere la funzione come integrale di una funzione Riemann-integrabile per x>0 e di una diversa funzione per x<0 che però siano continue e con i limiti in 0 uguali... questo credo si possa fare perchè la funzione in un intorno di 0 è derivabile... e poi ...

scusate ma si vuole anche continua la funzione?
Perchè altrimenti basta prendere una funzione continua e derivabile e modificare il valore in 0 di modo che ivi sia discontinua e di conseguenza non derivabile, ma mi pare strano che sia questo che richiede il problema: altrimenti sarebbe stato ...