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Lemma : Dobbiamo dimostrare che 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)>0 .
Consideriamo l'espressione come un'equazione di secondo grado in a^2 , si ha:
-a^4+a^22(b^2+c^2)-(b^4+c^4-2b^2c^2) . Calcolando le soluzioni con la formula delle eq. di secondo grado si ottiene:
\displaystyle\frac{-2(b^2+c ...

Sia p è un primo dispari e sia g un generatore modulo p, allora g o g+p è un generatore modulo .
Sia p è un primo dispari e sia g un generatore modulo , allora g è un generatore modulo per ogni n

(1) Se g è un generatore mod p anche g+p è un generatore mod p. Si ha: ord_{p^2}(g)| \phi{(p^2)}=p ...

Le prove d'entrata e d'uscita con risposte ed aiuti le trovi qui nella sezione “Esercizi“ .

(d) Dato che h(x) soddisfa la funzione di Cauchy di cui sopra ed è differenziabile (basta anche che sia continua) allora posso dire che h(x)=c^x per un qualche c\in\mathbb{R} .Si ha quindi
h'(x)=c^x\mbox{ln} c \hspace{0,5cm}(1) .
Inoltre si ha
h'(x)=2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x) \hspace{0,5cm}(2 ...

Allora:
(a) Pongo x=0, y=0 . Le equazioni diventano:

\displaystyle f(0)=f(0)^2-g(0)^2 \Longrightarrow g(0)^2=f(0)[f(0)-1]

\displaystyle g(0)=2f(0)g(0) \Longrightarrow g(0)[2f(0)-1]=0
Nell'ultima espressione moltiplico entrambi i membri per g(0) e sostituisco la formula per g(0)^2 trovata ...

In un parlamento ci sono 30 senatori. Due senatori o sono amici o sono nemici (l'amicizia e l'inimicizia sono reciproche). Ogni senatore ha esattamente 6 nemici. Determinare A+B dove A è il numero di sottoinsiemi di tre senatori tutti nemici e B il numero di sottoinsiemi di 3 senatori tutti amici ...

@Haile: non puoi semplificare termini che hanno un denominatore diverso.

Io, arrivato allo svolgimento dei prodotti come fatto da Haile, sono andato avanti cosi:
moltiplico entrambi i membri per il m.c.m dei denominatori e semplificando ottengo:
x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y-6xyz\ge 0 ...

Provo a risolverlo. Con y=2 e x\in [0, \infty) l'equazione diventa:
f(xf(2))f(2)=f(x+2) \Longrightarrow f(x+2)=0
Quindi abbiamo che f(x)=0 per ogni x\ge 2 .

Ora pongo x=2-w e y=w con 0<w<2 . L'equazione diventa:
\displaystyle f((2-w)f(w))f(2-w)=0 \Rightarrow f((2-w)f(w))=0
perche 2-w \ne 0 ...

Chiamo a_w i resti della divisione tra k e i numeri tra 1 e k-1 .
k=a_{k-1} \hspace{0.2cm}(mod \hspace{0.2cm}k-1)
k=a_{k-2} \hspace{0.2cm}(mod \hspace{0.2cm}k-2)
\cdots
Si ha quindi che r(k)=a_1+\dots+a_{k-1} .
Analizziamo r(k-1) : per tutti gli a_i>0 si ha k-1=a_i-1(mod \hspace{0.2cm}i ...