Sei minore di 2? Allora non sei una nullità! [funzionale]

[salva90]

Trovare tutte le funzioni, definite dai reali non-negativi e assumenti valori reali non-negativi, tali che:
$ f(2)=0 $;
$ f(x)\ne0 ~\forall~0\le x<2 $
$ f(xf(y))f(y)=f(x+y) $

è un IMO 1986/5 ma a mio avviso è decisamente facilotto; pertanto sconsigliato a chi ha esperienza

[leonim]

Provo a risolverlo. Con $ y=2 $ e $ x\in [0, \infty) $ l'equazione diventa:
$ f(xf(2))f(2)=f(x+2) \Longrightarrow f(x+2)=0 $
Quindi abbiamo che $ f(x)=0 $ per ogni $ x\ge 2 $.

Ora pongo $ x=2-w $ e $ y=w $ con $ 0<w<2 $. L'equazione diventa:
$ \displaystyle f((2-w)f(w))f(2-w)=0 \Rightarrow f((2-w)f(w))=0 $
perche $ 2-w \ne 0 $. Inoltre
$ (2-w)f(w)\ge 2 \Rightarrow f(w) \ge\frac{2}{2-w} $
Suppongo che $ f(w)>\frac{2}{2-w} $ per un $ w $ fissato. Allora posso scrivere $ f(w)=\frac{2}{2-w-a} $ per un opportuno $ a $. Quindi:
$ f((2-w-a)f(w))f(2-w-a)=f(2-a) $
$ \Rightarrow f(2)f(2-w-a)=f(2-a) \Rightarrow f(2-a)=0 $
Assurdo poiche $ 2>2-a\ge0 $. La funzione desiderata quindi e':
$ f(x)=0 $ per $ x \ge 2 $
$ f(x)=\frac{2}{2-x} $ per $ 0\le x<2 $
Questa funzione soddisfa l'equazione iniziale.

Ciao