OliForum Matematico

Siano x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}
Dalle condizioni abbiamo che abc= 1\implies xyz=1

\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}= \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}

Sia f(x)= x^{-1} con x>0 , tale funzione è convessa e per Jensen:
\frac{x^2}{y+z}+\frac ...

spugna ha scritto:Disuguaglianza dalle olimpiadi dell'anno.....?????

1995

Sia p(x) un polinomio di grado n a coefficienti positivi.
Si dimostri che se $ p(1/x)\ge 1/p(x) $ vale per x=1 allora vale per ogni x>0.

Ops. Non me n'ero reso conto. Non esiste una dimostrazione che non richieda i lemmi enunciati da Jordan?
Comunque grazie!!
Nel caso sia necessario, potete anche eliminare questo topic

Siano a,b,c reali non negativi tali che $ a^2+b^2+c^2+abc=4 $
Mostrare che $ abc+2 \ge ab+bc+ca $.

Ho cercato di risolverla ma senza riuscirci.

NB: Io non ho mai partecipato alle olimpiadi, non ho idea delle tecniche risolutive che si utilizzano, sono alle prime armi e con molti dubbi.

Ah ok. Effettivamente la mia domanda è fuorviante, cerco di essere più chiaro:
Si dimostri la disuguaglianza senza strumenti di analisi.
Tibor Gallai ha ragione, non è olimpica infatti serve per dimostrare un passaggio del il teorema di Mazur.

Non capisco, vuoi dire che è banale? mmm, vabbè, allora provo ad alzare un po' il tiro:

Dimostrare la seguente catena di disuguaglianze:
Presi a,b\in\mathbb{R}, p\geq 1
2^{1-p}|a-b|^p\leq \left|a|a|^{p-1}-b |b|^{p-1}\right|\leq p|a-b|(|a|^{p-1}+|b|^{p-1})

Se anche questa è di facile soluzione ...

Salve a tutti, questo è il mio primo post, non ho mai risposto a domande (perchè incapace) :oops: . Ora vi lancio una sfida:

Dimostrare che presi comunque a,b\in\mathbb{R}, p\geq 1 allora vale:
2^{1-p}|a-b|^p\leq p|a-b|(|a|^{p-1}+|b|^{p-1})

NB: Ho risolto il quesito con l'utilizzo dell'analisi ...

Grazie Mille, Paolo.
Appena sono entrato ed ho visto le domande mi è venuto un colpo.. ma sto preparando qualche domandina, non so quando le posterò perchè ho paura che risultino troppo banali per voi :lol:
Ci sentiamo presto :) (a già mi sto esercitando a scrivere le formule in modo decente con ...

Grazie, ancora non ho postato nulla, mi sto un po' ambientando nel sito
Vorrei capire come funziona prima. Ciao

Grazie.
Mi chiamo Salvatore, sono iscritto all'Università della Calabria(sono grandicello lo so! ), ho conosciuto questo sito grazie a Jordan.
Come ho detto prima, mi sono appassionato alla teoria dei numeri da poco e mi piacerebbe approfondire l'argomento. Vorrei imparare a risolvere gli esercizi ...

Ciao a tutti
Sono nuovo di zecca, (anche se qualcuno in questo forum mi conosce ) :D, Mi sto appassionando, molto lentamente a dire il vero, alla teoria dei numeri anche se la mia passione primaria è l'analisi matematica. Spero di poter imparare qualcosa di nuovo da questo forum, di poter aiutare ed ...