OliForum Matematico

Un numero è razionale se e solo se la sua scrittura decimale "prima o poi" diventa periodica (eventualmente con periodo 0).

Ci basta dimostrare allora che quel numero non può essere periodico.

Ma questo è evidente se notiamo che possiamo sempre trovare una sequenza di cifre 0 arbitrariamente lunga ...

Perfetto, grazie mille come al solito

Scusate se riapro questo vecchio topic ma mi sembrava stupido aprirne uno nuovo per una curiosità a proposito degli orali in Normale.

Volevo chiedere se qualcuno sa dirmi se è possibile assistere agli orali dei concorrenti che vengono prima; perché se fosse possibile stavo valutando se arrivare a ...

Ragioniamo per assurdo, e supponiamo che esista un intero h\leq n tale che, comunque presi h numeri tra quelli dati, la loro somma sia 0.
Allora prendiamo tutti i possibili sottoinsiemi {A_i} di h elementi, che sono N = \binom{n}{h} . Chiamiamo {S_i} la somma di tutti gli elementi di {A_i ...

Io ho dato una soluzione pseudo geometrica.

Chiamiamo ABC il triangolo contenente i punti di T. Il triangolo è scaleno, quindi un lato sarà maggiore degli altri 2, diciamo BC. Prendendo le varie possibilità, si vede che la massima distanza fra 2 punti all'interno del triangolo è proprio il lato ...

Provo con una dimostrazione elementare :D

Lemma: dato un segmento AB, il percorso spezzato convesso {s_1} (da una stessa parte del piano rispetto ad AB) di estremi AB ha perimetro minore del percorso spezzato convesso {s_2} (dalla stessa parte rispetto ad AB) tale che {s_1} è interamente contenuto ...

Uso le congruenze:

$ 2a+3b\equiv 0 \ (1) $

$ 4a^2+12ab+9b^2\equiv 0\ (2) $

Dalla (1), poiché 11 è primo, posso scrivere:

$ a\equiv -\frac{3}{2}b $ e sostituendo nella 2 ottengo

$ 4a^2 - 9b^2\equiv 0 $

Moltiplicando tutto per il reciproco di 4 ottengo la tesi.

A quanto pare anche la mia soluzione faceva uso del teorema di Helly :D ;
consideravo l'involucro convesso degli n punti, e poi consideravo le circonferenze di raggio 1/2 da ogni punto dell'involucro che per ipotesi, prese tre a tre, hanno un punto in comune. Grazie Tibor Gallai per la figura ...

Si risolve molto in fretta usando il teorema di helly

Cos'è?? :shock: :shock:

Comunque la mia dimostrazione è lunga e pedante; immagino che questo sia un problema standard e l'ho postato perché magari qualcuno degli utenti esperti può dirmi se c'è un modo veloce e bello per risolvere il ...

Siano dati n punti in un piano tali che 3 di essi comunque presi siano interni ad un cerchio di raggio 1. Dimostrare che tutti gli n punti sono interni ad un cerchio di raggio 1.

Sì, sì intendevo n invece di k

Lemma:

\varphi(n)\geq\pi(hn+n)-\pi(hn)

Infatti, se prendo un primo p compreso tra hn e hn+n, questo è congruo ad un numero coprimo con n modulo n minore di n. Se così non fosse dovrebbe essere

p = kn+a con a e k aventi almeno un fattore in comune: assurdo, perché p è primo.

Allora ad ogni ...

Ecco, la dimostrazione di Gismondo era quella che cercavo io .
Jordan con Z si intende l'insieme delle classi di resto modulo i? Scusa la domanda .. Comunque per il punto 3 mi sa che ci proverò domani dopo l'orale

2- Mostrare che ogni primo p>2 tale che 4|p-1 è esprimibile come somma di due quadrati.

Allora, è da un po' che ci provo; l'unica cosa che sono riuscito a dimostrare è che esistono "un po'" di quadrati di numeri minori di p, tali che la loro somma è un multiplo di p (usando il piccolo teorema di ...

Nella prima affermazione (quella a cui hai risposto "sei sicuro?") cosa c'è che non va? La congruenza equivale a+b = np + {c_p}^2 ma poiché a+b<p e maggiore di 0 è necessariamente n = 0.
E se n fosse negativo?

E' verò :oops: ; sì, allora salta tutto e la mia dimostrazione non vale.
Grazie ...