Riguardo i primi esprimibili come somma di 2 quadrati

[jordan]

1- Mostrare che se un primo p>2 è esprimibile come somma di quadrati di due interi allora 4|p-1.

2- Mostrare che ogni primo p>2 tale che 4|p-1 è esprimibile come somma di due quadrati.

3- Mostrare che ogni primo p>2 tale che 4|p-1 è esprimibile in modo unico come somma di due quadrati.

4- Dato p>2 primo tale che 4|p-1 siano a un residuo quadratico modulo p e b un residuo non quadratico.
Mostrare che $ \displaystyle (\frac{1}{2}|\sum_{i=0}^{p-1}{\left( \frac{x^3+ax}{p} \right)}| )^2+(\frac{1}{2}|\sum_{i=0}^{p-1}{\left( \frac{x^3+bx}{p} \right)}| )^2=p $


Nb. Qui il simbolo $ (\frac{a}{p}) $ denota il simbolo di Legendre
Edit: modificato il testo ai punti 2 e 3..

[CoNVeRGe.]

1- Mostrare che se un primo p è esprimibile come somma di quadrati di due interi allora 4|p-1.

$ \displaystyle a^2 + b^2 = p $

a e b sono diversi e quindi p è necessariamente dispari. Allora uno solo tra a e b deve essere dispari, supponiamo che questo sia b.

$ \displaystyle a^2 + b^2 - 1 = p - 1 = a^2 + (b-1) (b+1) $

$ \displaystyle a^2 $ è divisibile per 4 e almeno uno tra $ \displaystyle (b-1) $ e $ \displaystyle (b+1) $ anche, quindi $ \displaystyle 4 | p - 1 $

[jordan]

Ok alla prima. Ah dimenticavo, p>2.

[Jacobi]

Mostrare che $ \displaystyle (\frac{1}{2}|\sum_{i=0}^{p-1}{\left( \frac{x^3+ax}{p} \right)}| )^2+(\frac{1}{2}|\sum_{i=0}^{p-1}{\left( \frac{x^3+bx}{p} \right)}| )^2=p $

ma perche hai messo il valore assloluto dentro al quadrato? forse il valore assoluto era da intendere applicato ai singoli elementi della somma??

[jordan]

Era per evidenziare che ciò scritto nelle due parentesi tonde stavano a indicare i due (soli) interi positivi che soddisfano la 3)..

[Jacobi]

ah ok!

[Enrico Leon]

Ma per il 2) e il 3) sono sempre due quadrati? Sennò faccio 1+1+1+1+...

[ndp15]

Ma per il 2) e il 3) sono sempre due quadrati? Sennò faccio 1+1+1+1+...

Credo che ti sia già risposto da solo

[Pairo]

2- Mostrare che ogni primo p>2 tale che 4|p-1 è esprimibile come somma di due quadrati.

Allora, è da un po' che ci provo; l'unica cosa che sono riuscito a dimostrare è che esistono "un po'" di quadrati di numeri minori di p, tali che la loro somma è un multiplo di p (usando il piccolo teorema di fermat); questa è una buona strada? Si potrebbe avere qualche hint? Grazie mille!

[jordan]

... l'unica cosa che sono riuscito a dimostrare è che esistono "un po'" di quadrati di numeri minori di p, tali che la loro somma è un multiplo di p (usando il piccolo teorema di fermat); questa è una buona strada? Si potrebbe avere qualche hint? Grazie mille!

La strada di solito utilizzata è quella di mostrare che p=4k+1 è composto in $ [tex] $\mathbb{Z}[/tex]..
Si potrebbe concludere anche dal tuo metodo mostrando che esiste una somma di quadrati multipla di p e minore di 2p..
Hint (per un terza possibile strada): considera i numeri $ 1^{4k}, 2^{4k},\ldots,(4k)^{4k} $, quanto vale il resto mod p? Per cui se scegliamo tutte le differenze consecutive..?

[gismondo]

Vediamo...
Prendiamo $ xz \equiv y \pmod p $
$ x^2z^2 \equiv y^2 $
$ -x^2 \equiv y^2 $(Teorema 1)
$ x^2+y^2=cp $
$ 2p>cp $ (Thue)
$ 2>c $
$ $c=1 $
Segue la tesi.

Teorema 1: se $ 4|p-1 $ allora $ z^2 \equiv -1 \pmod p $ si può risolvere.
Teorema di Thue: la congruenza $ xz \equiv y \pmod n $ con $ $n $ intero positivo NON quadrato perfetto ammette soluzioni NON nulle $ |x|<\sqrt{n} $ e $ |y|<\sqrt{n} $

[jordan]

Alla TG: dimostralo

[gismondo]

Scusa non capisco
Devo dimostrare i teoremi? Con c=1 abbiamo $ x^2+y^2=cp \Rightarrow x^2+y^2=(1)p=p $

[ndp15]

Scusa non capisco
Devo dimostrare i teoremi?

Credo intendesse che, in campo olimpico, se usi il Teorema di Thue lo dovresti saper dimostrare (cosa in questo caso non impossibile).

Ah proposito: anche io ho sbattuto la testa per un po' sul punto 2 senza ricavarne nulla.

[Haile]

Ah proposito: anche io ho sbattuto la testa per un po' sul punto 2 senza ricavarne nulla.

Idem. Domanda:

Se dimostrassi che un intero di forma 4k+1 è esprimibile come somma di 2 quadrati sse è primo o multiplo di 5... avrei provato anche che tutti i primi di tale forma lo sono?