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Sono Matteo Rossi. Sei anche tu il 22 pomeriggio?

Trovare tutte le coppie (m,n) di interi positivi per cui il numero

$ \large \sqrt[60]{m^{n^5-n}} $

è a sua volta intero

Ciao a tutti,
scusate per la domanda trita e ritrita, ma tra qualche giorno devo presentarmi all'orale del sant'anna. C'è qualcuno che li ha fatti e si ricorda più o meno i problemi che sono stati chiesti, il tempo a disposizione, se si è aiutati dalla commissione ecc.?

Ho visto la soluzione sul sito IBM, ma non mi convince molto la dimostrazione per cui quello descritto è il percorso ottimale...

Vedi che p(n) è la somma dei cubi di tutti i numeri naturali da 1 a n.

Se conosci la formula per la somma dei primi n cubi:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}

la dimostri facilmente per induzione

passo base : per n = 1 la formula funziona:

\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4 ...

C'è una piscina circolare, raggio R. Un nuotatore si trova al centro della piscina. C'è un leone a riva che lo aspetta, che sa correre a velocità costante v attorno alla piscina (non può nuotare) sia in un verso che nell'altro. A quale velocità minima dovrà nuotare il nuotatore per poter toccare ...

antosecret ha scritto: Allora possiamo, scelto un numero k a caso, prendere 2 tessere che hanno il numero k (ad esempio la hk e la jk) e sostituirle con la tessera jk (presa dalla scatola)

mhmh non credo di aver capito

Eh avevo notato anche questo, però non riesco a stendere una dimostrazione rigorosa nel caso generico con n, n+2...

Purtroppo non riesco a dimostrare la mia risposta.

Comunque per n generico c'è differenza per n dispari e n pari.
Infatti, ogni numero di puntini compare in totale sulle varie tessere n + 2 volte. Per n pari quindi ciascun numero compare un numero pari di volte, quindi si può formare una sequenza ...

Io avevo pensato che il numero di volte che un certo numero di puntini compare nella sequenza è pari (visto che devono sempre essercene due vicini e il primo e l'ultimo sono uguali), mentre sommando tutti quelli che ci sono in tutto nelle tessere sono dispari. Quindi bisogna togliere una tessera ...

Si ho fatto il concorso ma non ho sentito nessuno che avesse risolto il punto delle 4 squadre...

Anch'io ho inteso il problema come Tibor Gallai. Infatti secondo me quel punto del problema voleva fare notare che il caso dell'esagono regolare è il caso limite della strategia poligoni regolari.

Però non sono riuscito a trovare strategie per il caso con 4 squadre ne a dimostrare che non è ...

si esatto, sono entrambe unitarie

Pincopallino ha a disposizione 21 tessere di domino in cui su ciascuna metà sono presenti da 0 a 5 puntini. Per ciascuna combinazione di puntini esiste una sola tessera, che può essere impiegata in entrambi i versi (ad esempio 35 o 5 3 ).

Pincopallino dispone le tessere in fila in modo che vengano ...

Un incendio, scoppiato in un certo punto P, si espande in maniera uguale in tutte le direzioni con velocità unitaria. I pompieri per fermarlo si dividono in squadre, le quali possono costruire delle barriere rettilinee, avanzando anch'essi con velocità unitaria ( quindi uguale a quella del fuoco ...