costruzione carina (Hungary-Israel Binational 2008\6)
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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costruzione carina (Hungary-Israel Binational 2008\6)
$ P $ e $ Q $ sono due punti all'interno di un angolo acuto di vertice $ O $ delimitato dalle semirette $ e $ e $ f $. Trovare una costruzione con riga e compasso di un triangolo isoscele $ ABC $ con base $ AB $ sulla semiretta $ e $, vertice $ C $ su $ f $ e tale che $ P \in AC $ e $ Q \in BC $.
Ma è sempre possibile trovare un triangolo di questo tipo?
Dato che $ AB $ è sulla semiretta $ e $, $ ABC $ è un triangolo equilatero e $ P $ sta su $ AC $ (che formerà un angolo di 60° con $ e $), un triangolo equilatero per cui $ P \in AC $ mi sembra unico, e non è detto che $ Q \in BC $
OK, chi mi corregge?
Dato che $ AB $ è sulla semiretta $ e $, $ ABC $ è un triangolo equilatero e $ P $ sta su $ AC $ (che formerà un angolo di 60° con $ e $), un triangolo equilatero per cui $ P \in AC $ mi sembra unico, e non è detto che $ Q \in BC $
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Pardon... non avevo letto bene-
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questa era la mia soluzione:
lemma : preso un triangolo ABC, il luogo coniugato isogonale dell'asse di BC è un'iperbole retta con centro nel punto medio di BC e asintoti la bisettrice interna e esterna del triangolo mediale condotte dal punto medio di BC.
Chiamiamo H e K la proiezione di P e di Q su e. Ora applicando il lemma al triangolo degenere formato dalle rette PQ, PH e QK abbiamo che il luogo dei vertici di tutti i triangoli isisceli con base su e, P su un lato e Q su un altro è un'iperbole retta con centro il punto medio di PQ e asintoti paralleli e perpendicolari a e. Allora C sta sull'intersezione di questa iperbole con f.
Questa è una costruzione con riga e compasso dell'intersezione di una conica C con una retta L:
Sua F un fuoco, l una direttrice, ed e = eccentricità.
(1) Let $ H = L \cap l $.
(2) Si prende un punto P con proiezione Q sulla direttrice.
(3) Si costruisce un cerchio con centro P e raggio e · PQ.
(4) Si costruisce per P la parallela a L che interseca la direttrice in O.
(5) Si costruisce da O la parallela a FH che interseca il cerchio del punto (3) in X e Y.
(6) Si costruiscono da F le rette parallele a PX e a PY che intersecano la retta L in 2 punti sulla conica.
[chi ne ha voglia può provare a dimostrare la costruzione
]
lemma : preso un triangolo ABC, il luogo coniugato isogonale dell'asse di BC è un'iperbole retta con centro nel punto medio di BC e asintoti la bisettrice interna e esterna del triangolo mediale condotte dal punto medio di BC.
Chiamiamo H e K la proiezione di P e di Q su e. Ora applicando il lemma al triangolo degenere formato dalle rette PQ, PH e QK abbiamo che il luogo dei vertici di tutti i triangoli isisceli con base su e, P su un lato e Q su un altro è un'iperbole retta con centro il punto medio di PQ e asintoti paralleli e perpendicolari a e. Allora C sta sull'intersezione di questa iperbole con f.
Questa è una costruzione con riga e compasso dell'intersezione di una conica C con una retta L:
Sua F un fuoco, l una direttrice, ed e = eccentricità.
(1) Let $ H = L \cap l $.
(2) Si prende un punto P con proiezione Q sulla direttrice.
(3) Si costruisce un cerchio con centro P e raggio e · PQ.
(4) Si costruisce per P la parallela a L che interseca la direttrice in O.
(5) Si costruisce da O la parallela a FH che interseca il cerchio del punto (3) in X e Y.
(6) Si costruiscono da F le rette parallele a PX e a PY che intersecano la retta L in 2 punti sulla conica.
[chi ne ha voglia può provare a dimostrare la costruzione
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