parabola + Thebault + X(56) + concorrenza + conica (Own)

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Preso un triangolo ABC siano A',B',C' punti rispettivamente sui segmenti BC,CA,AB. Sia $ \Omega $ la crf circoscritta a ABC di centro O e $ \Gamma $ quella inscritta a ABC di centro I. Sia $ \Gamma_B ^A $ la circonferenza tangente all'arco di $ \Omega $ sotteso dall'angolo C di ABC e tangente a AA' e BA', ugualmente $ \Gamma_C ^A $ sarà la crf tangente all'arco di $ \Omega $ sotteso dall'angolo B di ABC e tangente a AA' e CA'. Ciclicamente definiamo $ \Gamma_C ^B $, $ \Gamma_A ^B $, $ \Gamma_A ^C $, $ \Gamma_B ^C $. Siano $ O_i ^j $ i centri delle crf $ \Gamma_i ^j $. Siano inoltre $ P_i ^j $ i punti di tangenza di $ \Gamma_i ^j $ con $ \Omega $.


1-semplice) Dimostrare che $ O_B ^A $ e $ O_C ^A $ stanno su una parabola passante per B e C di fuoco O (al variare di A' su BC).
2-Thebault's theorem) Dimostrare che $ O_B ^A $, $ O_C ^A $ e I sono allineati.
3-concorrenza) Dimostrare che $ O_B ^A O_C ^A $, $ P_B ^A P_C ^A $ e BC concorrono.
4-X(56) Own) Dimostrare che $ P_B ^A P_C ^A $ passa sempre per il centro esterno di similitudine tra $ \Gamma $ e $ \Omega $.
5-conica Own) Dimostrare che gli $ O_i ^j $ stanno su una conica se e solo se AA',BB',CC' concorrono.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

aggiungo un'altro semplice punto:

0) dimostrare che $ \Gamma_B ^A $ e $ \Gamma_C ^A $ hanno lo stesso raggio se e solo se A' è il punto di tangenza dell' A-excerchio con BC.