doppi primi

[jordan]

Mostrare che $ \displaystyle \frac{\binom{p+q}{p}-\binom{q}{p}-1}{pq} $ è intero per ogni $ q \ge p $ entrambi primi

(edit:ci mancava la richiesta )

[pic88]

Mostrare che $ \displaystyle \frac{\binom{p+q}{p}-\binom{q}{p}-1}{pq} $ per ogni $ q \ge p $ entrambi primi

LOL

[kn]

Si può fare una dimostrazione (in parte) combinatoria? (Cioè che dà un senso a quel brutto numeratore)

[jordan]

Non so se è possibile, ma se la trovi è sicuramente più bella di quella che conosco..

[kn]

Ho detto in parte, eh!
Consideriamo due strisce di p e q caselle (o quello che volete) e affianchiamole.
Il numeratore è il numero di modi di annerire p caselle di tutta la striscia di p+q caselle in modo che non appartengano tutte a una sola delle due sotto-strisce (infatti è il numero di modi di annerire p caselle - modi di annerirne p solo nella seconda striscia - modi di annerirne p solo nella prima(=1) ).
Il numeratore si può quindi riscrivere in questa forma apparentemente più scomoda:
$ \displaystyle\sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k}\binom{q}{n-k} $ (posso scegliere almeno una casella nella prima striscia ma al max p-1, altrimenti tutte le caselle annerite sarebbero nella prima striscia)
Abbiamo che $ \displaystyle\forall k~~p|\binom{p}{k}=\frac{p(p-1)\cdots(p-k+1)}{k!} $ dato che p non viene semplificato.
Stessa cosa per q. Quindi p e q dividono tutto. Sicuramente è più corta la tua, jordan

[jordan]

Perfetto Kn, bella soluzione!

[g(n)]

Scusa, magari ho letto di fretta, ma forse intendevi
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}\binom pk \binom q{p-k} $
o sbaglio?

Comunque la divisibilità rimane lo stesso, quindi non cambia niente.

Bella soluzione comunque

[kn]

Ops! Grazie g(n), ora ho corretto.
Qualcuno ha trovato l'altra soluzione?

[jordan]

Non serviva correggere
$ \sum_{i=1}^{p-1}{\binom{p}{k}\binom{q}{p-k}}=\sum_{i=1}^{p-1}{\binom{p}{k}\binom{q}{k}} $