Interi positivi come somme d'interi positivi consecutivi-own

[kn]

Io ho trovato questa soluzione (identica ma un po' più compatta):
Consideriamo la generica somma di n termini $ ~\displaystyle(a)+(a+1)+\dots+(a+n-1)=na+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n}{2}(2a+n-1) $
Chiamiamo x il numero da scomporre in una somma; otteniamo $ ~\displaystyle n(n+2a-1)=2x $
Naturalmente se x non contiene fattori primi dispari (è una potenza di 2) non si può rappresentare (al 1° membro uno dei due fattori è dispari).
Se x contiene fattori primi dispari $ ~\displaystyle<\sqrt{2x} $ prendiamo uno di questi come n e il secondo fattore al primo membro è giustamente pari e si può trovare sempre un a in modo che l'equazione sia soddisfatta; in caso contrario, prendiamo come n la potenza massima di 2 (sicuramente $ ~\displaystyle<\sqrt{2x} $): il secondo fattore del 1° membro è dispari e si può sempre trovare un a adeguato.

[Inkio]

se questo era da febbraio allora mi conviene mettermi sotto perchè ci ho dovuto pensare moltissimo.....


tutti i numeri dispari maggiori di 1 sono della forma $ $2n+1 $ con $ $n\in\mathbb{N^+} $: dunque ogni dispari può essere espresso nella forma $ $n+(n+1) $, ovvero ogni dispari è la somma di due interi positivi consecutivi.

Passiamo ai numeri pari

in generale, ogni numero $ $n $, se ha nella sua fattorizzazione un dispari $ $d $, può essere espresso come la somma di $ $d $ interi consecutivi, a patto che $ $n\geq\frac{d(d+1)}{2} $ (perchè quella è esattamente la somma dei primi $ $d $ interi, quindi il caso più piccolo di somma di $ $d $ interi consecutivi), ovvero $ $2n \geq d(d+1) $; se $ $d $ compare nella fattorizzazione di $ $n $ elevato ad un esponente maggiore di 1, allora la condizione precedente è sempre rispettata perchè $ $2d^2>d(d+1) $ sempre e $ $2d^2 \leq n $. Se il numero non contiene dispari elevati ad una potenza maggiore di 1, può essere espresso nella forma $ $2^kd $ con $ $d $ dispari; ora, osservo che la somma di $ $2h $ interi consecutivi è congrua a $ $h $ modulo $ $2h $, ed è maggiore o uguale a $ $\frac{h(h+1)}{2} $: in poche parole ogni intero congruo ad $ $h $ modulo $ $2h $ e maggiore o uguale a quella roba può essere espresso come somma di $ $2h $ interi consecutivi: dunque dovremmo avere che $ $2^k d \geq \frac{2^{k+1}(2^{k+1}+1)}{2}==>2^{k+1}d \geq 2^{k+1}(2^{k+1}+1) ==>d \geq 2^{k+1}+1 $. Se questa condizione è rispettata siamo a posto. Altrimenti, è vero il contrario, ovvero $ $2^{k-1}>d-1 $: ma allora $ $2^kd $può essere espresso come somma di $ $d $ interi consecutivi perchè si dovrebbe avere $ $2^kd \geq \frac{d(d+1)}{2} ==> 2^{k+1} \geq d+1 $, che è verificata dalla condizione trovata in precedenza.

è rimasto solo il caso per cui $ $n=2^x $. Ora, naturalmente $ $n $ non può essere una somma di un numero dispari di interi consecutivi, perchè dovrebbe essere multiplo di un tale numero. Analogamente, non può essere neanche una somma di un numero pari, ma multiplo di un primo diverso da 2, di interi consecutivi, perchè dovrebbe essere multiplo di tale primo. Ora, abbiamo già visto come la somma di $ $2h $ interi consecutivi è congrua ad $ $h (mod 2h) $: ma allora $ $2^x $ dovrebbe necessariamente essere espresso come la somma di $ $2^{x+1} $ interi consecutivi, e questo è assurdo



argh, che fatica.......potete dirmi se va bene per favore?


EDIT: mi sono accorto che non ho specificato che in tutti i vari passaggi $ $d>1 $

Se ho capito bene quello che hai fatto, allora anche io lo ho risolto così....

Li ho divisi in 3 punti: il caso in cui n è dispari, e lo ho risolto identico al tuo; il caso in cui n è pari ed il suo più piccolo fattore dispari G è tale che, detto X=n/G $ G<2X+1 $ allora funziona, che se ho letto bene è la stessa cosa che hai fatto tu(faccio un'esempio così è più chiaro questo punto: per esempio 136=17*8=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16, 13*8=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14, perchè 2+14=8*2,3+13=8*2,....);invece se $ G>2X+1 $funziona anche in questo caso, perchè dato che $ G=[(G-1)/2]+[((G-1)/2) +1] $, ora se aggiungiami numeri "sia da una parte che dall'altra"(scusatemi per il lessico), ad ogni coppia K di numeri che aggiungiamo, otterremo un numero del tipo $ G*(K+1) $.possiamo fare quest'operazione fino a quando non si arriva a 0, ma si arriva a 0 nel caso in cui X>(G+1)/2. per cui questo metodo non funziona più se 2X-1>G, ma se G<2X-1, sarà minore anche di 2X+1 e quindi siamo al caso sopra.
Se non ho capito male, fino a quì la soluzione è pressochè la stessa.

Tuttavia ho dimostrato in maniera diversa in caso $ n=2^x $

come diceva il nostro amico sopra,$ n=2^x=a(a+1)/2 -b(b+1)/2 $
allora $ 2^y=a^2 +a -b^2 -b $
$ 2^y=(a-b)(a+b+1) $
Ora ci sono 1425354121423623525 modi diversi per dimostrare che non funziona...Secodo me il più veloce è accorgersi che se $ a-b $è pari allora $ a $ e $ b $ hanno la stessa parità, per cui $ a+b+1 $è dispari. L'unica potenza dispari di 2 è il caso $ 2^0 $ che non ci va bene perchè se y=0 allora $ 2^x $ dato che x=y-1 non è intero, ma n è intero per ipotesi allora non funziona.....


Se ci sono errori scrivete please..

[SkZ]

altro modo

Somma di 2 numeri consecutivi: $ ~n+(n+1)=2n+1 $
Somma di 3 numeri consecutivi: $ ~n+(n+1)+(n-1)=3n $
Somma di 4 numeri consecutivi: $ ~n+(n+1)+(n-1)+(n+2)=4n+2 $
Somma di 5 numeri consecutivi: $ ~n+(n+1)+(n-1)+(n+2)+(n-2)=5n $
...

si vede che sommando 2k numeri consecutivi si ha $ ~k(2n+1) $, sommandone 2k+1 invece $ ~(2k+1)n $, con $ ~n\geq k>0 $.
Ovvero il numero ottenuto ha sempre un fattore dispari.


edit: piu' giusto $ ~n\geq k>0 $ di $ ~n> k>0 $.

[Inkio]

altro modo

Somma di 2 numeri consecutivi: $ ~n+(n+1)=2n+1 $
Somma di 3 numeri consecutivi: $ ~n+(n+1)+(n-1)=3n $
Somma di 4 numeri consecutivi: $ ~n+(n+1)+(n-1)+(n+2)=4n+2 $
Somma di 5 numeri consecutivi: $ ~n+(n+1)+(n-1)+(n+2)+(n-2)=5n $
...

si vede che sommando 2k numeri consecutivi si ha $ ~k(2n+1) $, sommandone 2k+1 invece $ ~(2k+1)n $, con $ ~n>k>0 $.
Ovvero il numero ottenuto ha sempre un fattore dispari.

Mmmh...ma così non dimostri però che vanno bene tutti esclusi $ 2^g $....probabilmente ho capito male..

[SkZ]

dato che $ ~n\geq k>0 $, si vede che il fattore dispari che deve comparire non puo' essere 1, quindi almeno 3.
Da qui di dimostra che le potenze di 2 non possono essere espresse come somma di numeri consecutivi (l'unico dispri che puo' comparire e' appunto l'1 che e' escluso).

Rimane solo da dimostrare che esitono n e k opportuni dato un qualunque numero multiplo di un numero dispari maggiore di 1 ($ ~n>k $ se somma di 2k+1 numeri, $ ~n\geq k $ se somma di 2k numeri)