Divisibilità con primo e sue potenze e binomiale

[afullo]

Verificare che, se p è primo, allora p divide il coefficiente binomiale di p^m su i, qualunque i compreso tra 1 e (p^m)-1

[jordan]

Premessa: Siano $ p $primo, $ m \in \mathbb{N} $ e $ i \in \mathbb{Z}_{p^m}^* $ fissati. Sia inoltre definito $ \upsilon_p(a) \in \mathbb{Z} $ quell'intero non negativo tale che $ p^{\upsilon_p(a)}||a $: abbiamo che $ \upsilon_p(\prod_{j=1}^n{y_j})=\sum_{j=1}^n{\upsilon_p(y_j)} $ e che $ \upsilon_p(y_t,y_w)=\min{\upsilon_p(y_t),\upsilon_p(y_w)} $ nel caso in cui $ \upsilon_p(y_w) \neq \upsilon_p(y_t) $.

Soluzione esercizio: $ m \ge \upsilon_p(\binom{p^m}{i})=\upsilon_p(\frac{p^m}{i})=m-\upsilon_p(i) \ge 1 $

[Carlein]

Facendosi ispirare da una carina dimostrazione del piccolo di fermat,si può interpretare la cosa così: supponiamo di avere u oggetti da disporre su un ciclo di lunghezza $ p^k $ e u compreso negli estremi che dice afullo: quel binomiale è ovviamente il numero di modi per piazzarli.Si consideri ora la seguente relazione tra disposizioni: disposizione a è in relazione con disposizione b quando posso ottenere b ruotando ciclicamente la disposizione a.E' chiaro che questa è un'equivalenza: dunque andrà a costituire una partizione del insieme delle disposizioni. Se ciascuna classe avesse un un numero divisibile per p di elementi saremmo a cavallo! Ma in effetti così è: si supponga che una classe abbia un numero non divisibile per p di elementi,allora avrà un numero coprimo con p di elementi( p è primo): ma allora si vede facilmente che a partire da un oggetto in una posizione raggiungo oggetti in ogni posizione nell'ambito di una disposizione,assurdo perchè u è minore di p^k.