Buon Lavoro
successione pre-IMO '02
successione pre-IMO '02
Sia $ a_n $ una successione di interi positivi tali che $ a_{n+1}=a_n^3 + 1999 $ per ogni $ n\in \mathbb{N} $. Dimostrare che il numero di quadrati perfetti contenuti in questa successione e' minore o uguale a uno.
Buon Lavoro
Buon Lavoro
Pubblico la mia soluzione, se qualcuno vuole provarci non guardi..
Lavoreremo modulo 7. $ x^3\pmod 7 $ è congruo a 0 se e solo se $ x\equiv 0 \pmod 7 $, altrimenti è congruo o a 1 o a -1 (questo perché $ a^6\equiv 1 \pmod 7 \Longrightarrow (a^3+1)(a^3-1)\equiv 0 \pmod 7 $). Poiché $ 1999\equiv 4 \pmod 7 $ si ha che $ a_{n+1} $ modulo 7 è congruo a 4 se $ a_n\equiv 0 $, altrimenti è congruo o a 5 o a 3, per qualsiasi n. Si verifica che se un generico $ a_n $ è congruo a 3 o 5 modulo 7, il successivo è rispettivamente congruo a 5 o 3 modulo 7. Poichè i residui quadratici modulo 7 sono 0,1,2 e 4, se un generico $ a_n $ non è un quadrato perfetto, neanche il successivo lo è. Chiamando $ a_1 $ il primo termine della successione, distinguiamo due casi:
1) $ a_1 $ non è un quadrato perfetto. Per le considerazioni precedenti, $ a_2 $ può essere congruo solo a 3,4 e 5. Se $ a_2 $ è congruo a 3 o 5, non può essere quadrato perfetto e neanche tutti i successivi termini lo sarebbero. Se $ a_2\equiv 4 \pmod 7 $ potrebbe essere un quadrato perfetto, ma $ a_3\equiv 4^3+4\equiv 5 \pmod 7 $ e quindi tutti i successivi termini non sarebbero quadrati perfetti. Quindi in questo caso il numero di quadrati perfetti e' minore o uguale a uno.
2) $ a_1 $ è un quadrato perfetto. Se $ a_1 $ non è multiplo di 7 allora $ a_2 $ è congruo o a 3 o a 5, e quindi non può essere quadrato perfetto e neanche i termini successivi. Se $ a_1\equiv 0\pmod 7 $ allora $ a_2\equiv 4 \pmod 7 $ e tutti i successivi, essendo congrui a 3 o 5, non sono quadrati perfetti. Ci basta dimostrare che $ a_2 $ non è un quadrato perfetto. $ a_2 $ è della forma $ (7k)^6+1999 $. Con un pò di calcoli si riesce a dimostrare che non è un quadrato perfetto.
Spero che qualcuno abbia trovato una soluzione migliore della mia senza fare tutti i calcoli..
Lavoreremo modulo 7. $ x^3\pmod 7 $ è congruo a 0 se e solo se $ x\equiv 0 \pmod 7 $, altrimenti è congruo o a 1 o a -1 (questo perché $ a^6\equiv 1 \pmod 7 \Longrightarrow (a^3+1)(a^3-1)\equiv 0 \pmod 7 $). Poiché $ 1999\equiv 4 \pmod 7 $ si ha che $ a_{n+1} $ modulo 7 è congruo a 4 se $ a_n\equiv 0 $, altrimenti è congruo o a 5 o a 3, per qualsiasi n. Si verifica che se un generico $ a_n $ è congruo a 3 o 5 modulo 7, il successivo è rispettivamente congruo a 5 o 3 modulo 7. Poichè i residui quadratici modulo 7 sono 0,1,2 e 4, se un generico $ a_n $ non è un quadrato perfetto, neanche il successivo lo è. Chiamando $ a_1 $ il primo termine della successione, distinguiamo due casi:
1) $ a_1 $ non è un quadrato perfetto. Per le considerazioni precedenti, $ a_2 $ può essere congruo solo a 3,4 e 5. Se $ a_2 $ è congruo a 3 o 5, non può essere quadrato perfetto e neanche tutti i successivi termini lo sarebbero. Se $ a_2\equiv 4 \pmod 7 $ potrebbe essere un quadrato perfetto, ma $ a_3\equiv 4^3+4\equiv 5 \pmod 7 $ e quindi tutti i successivi termini non sarebbero quadrati perfetti. Quindi in questo caso il numero di quadrati perfetti e' minore o uguale a uno.
2) $ a_1 $ è un quadrato perfetto. Se $ a_1 $ non è multiplo di 7 allora $ a_2 $ è congruo o a 3 o a 5, e quindi non può essere quadrato perfetto e neanche i termini successivi. Se $ a_1\equiv 0\pmod 7 $ allora $ a_2\equiv 4 \pmod 7 $ e tutti i successivi, essendo congrui a 3 o 5, non sono quadrati perfetti. Ci basta dimostrare che $ a_2 $ non è un quadrato perfetto. $ a_2 $ è della forma $ (7k)^6+1999 $. Con un pò di calcoli si riesce a dimostrare che non è un quadrato perfetto.
Spero che qualcuno abbia trovato una soluzione migliore della mia senza fare tutti i calcoli..
CUCCIOLO
