Calcolare la somma dei moduli delle sue radici.
somma di moduli di radici distinte
somma di moduli di radici distinte
Sia dato un polinomio P(x) a coefficienti complessi di quinto grado, a radici distinte, tale che esiste un altro polinomio Q(x) che soddisfa $ P(x)Q(x)=P(x^2) $.
Calcolare la somma dei moduli delle sue radici.
Calcolare la somma dei moduli delle sue radici.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
$ P(x)=0\Rightarrow P(x^2)=0 $, quindi le cinque radici hanno modulo $ 1 $. La somma dei moduli pertanto è $ 5 $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Credo di aver trovato l'errore. Colgo l'occasione anche per chiarire meglio i passaggi che ho omesso.
Si ha che se $ \alpha $ è una radice di $ P(x) $, allora anche $ \alpha^2 $ lo è. Di conseguenza, se si suppone che una radice ($ \alpha $) abbia modulo diverso da $ 0 $ o da $ 1 $, i numeri $ \alpha, \alpha^2, \alpha^4, \dots, \alpha^{2^n}, \dots $ sono tutti distinti perchè hanno moduli diversi e sono tutti radici. In tal caso il polinomio $ P(x) $ dovrebbe essere identicamente nullo perchè ammette un'infinità di radici.
Le radici di $ P(x) $ possono allora avere solo modulo $ 0 $ o $ 1 $. Più precisamente, visto che le radici sono distinte, quattro hanno modulo $ 1 $ e la quinta può essere $ 0 $ o avere modulo $ 1 $.
Nel primo caso la somma dei moduli vale evidentemente $ 4 $, nel secondo $ 5 $.
Inoltre, è possibile mostrare l'esistenza di due siffatti polinomi:
$ P(x)=x^5-x,\ \ Q(x)=x^5+x $ per il primo caso,
$ P(x)=x^5-1,\ \ Q(x)=x^5+1 $ per il secondo caso.
Si ha che se $ \alpha $ è una radice di $ P(x) $, allora anche $ \alpha^2 $ lo è. Di conseguenza, se si suppone che una radice ($ \alpha $) abbia modulo diverso da $ 0 $ o da $ 1 $, i numeri $ \alpha, \alpha^2, \alpha^4, \dots, \alpha^{2^n}, \dots $ sono tutti distinti perchè hanno moduli diversi e sono tutti radici. In tal caso il polinomio $ P(x) $ dovrebbe essere identicamente nullo perchè ammette un'infinità di radici.
Le radici di $ P(x) $ possono allora avere solo modulo $ 0 $ o $ 1 $. Più precisamente, visto che le radici sono distinte, quattro hanno modulo $ 1 $ e la quinta può essere $ 0 $ o avere modulo $ 1 $.
Nel primo caso la somma dei moduli vale evidentemente $ 4 $, nel secondo $ 5 $.
Inoltre, è possibile mostrare l'esistenza di due siffatti polinomi:
$ P(x)=x^5-x,\ \ Q(x)=x^5+x $ per il primo caso,
$ P(x)=x^5-1,\ \ Q(x)=x^5+1 $ per il secondo caso.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]