ricordi mediani
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Siano wlog $ m_1\le m_2 \le m_3 $le tre mediane di un triangolo, allora $ m_3\le m_1+m_2 $.
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Re: ricordi mediani
Cosa significa wlog? Lo vedo sempre scritto e non l'ho mai saputojordan ha scritto:Siano wlog $ m_1\le m_2 \le m_3 $le tre mediane di un triangolo, allora $ m_3\le m_1+m_2 $.
Ricordando il lemma triangolare (viewtopic.php?t=12275 )
e la formula della mediana di un triangolo:
(1) $ \displaystyle m_a^2=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}c^2-\frac{1}{4}a^2 $
si può fare algebricamente come segue.
Dalla (1) ho:
$ \displaystyle m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2) $
Da cui:
$ \displaystyle (m_a^2+m_b^2+m_c^2)^2=\frac{9}{16}(a^2+b^2+c^2)^2 $
Sempre dalla (1) con qualche calcolo ottengo:
$ \displaystyle m_a^4+m_b^4+m_c^4=\frac{9}{16}(a^4+b^4+c^4) $
Pertanto:
$ \displaystyle (m_a^2+m_b^2+m_c^2)^2-2(m_a^4+m_b^4+m_c^4)=\frac{9}{16}[(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)]>0 $ per il lemma.
Allora per il medesimo lemma $ \displaystyle m_a,m_b,m_c $ sono i lati di un triangolo.
e la formula della mediana di un triangolo:
(1) $ \displaystyle m_a^2=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}c^2-\frac{1}{4}a^2 $
si può fare algebricamente come segue.
Dalla (1) ho:
$ \displaystyle m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2) $
Da cui:
$ \displaystyle (m_a^2+m_b^2+m_c^2)^2=\frac{9}{16}(a^2+b^2+c^2)^2 $
Sempre dalla (1) con qualche calcolo ottengo:
$ \displaystyle m_a^4+m_b^4+m_c^4=\frac{9}{16}(a^4+b^4+c^4) $
Pertanto:
$ \displaystyle (m_a^2+m_b^2+m_c^2)^2-2(m_a^4+m_b^4+m_c^4)=\frac{9}{16}[(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)]>0 $ per il lemma.
Allora per il medesimo lemma $ \displaystyle m_a,m_b,m_c $ sono i lati di un triangolo.
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Siano $ \vec A, \vec B, \vec C $ i vertici del triangolo, allora le mediane sono $ \vec m_a=\frac12(\vec B+\vec C)-\vec A,\ \vec m_b=\frac12(\vec C+\vec A)-\vec B,\ \vec m_c=\frac12(\vec A+\vec B)-\vec C $.
Dal momento che si ha $ \vec m_a+\vec m_b+\vec m_c=0 $, le tre mediane sono i lati di un triangolo.
Dal momento che si ha $ \vec m_a+\vec m_b+\vec m_c=0 $, le tre mediane sono i lati di un triangolo.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]