Siano $ a,b,c $ tre numeri reali positivi tali che $ a+b+c=abc $.
Dimostrare che $ \displaystyle\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge3\sqrt3\frac{abc}{abc+3} $.
Altra disuguaglianza
Altra disuguaglianza
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Io ho fatto cosi`: si osserva che la funzione $ $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ $ e` convessa, si applica Jensen e arriviamo a
$ $\frac{\left(\sum \frac{1}{3}a\right)^2}{\sum \frac{1}{3}a + 1} \geqslant \frac{\sqrt{3} abc}{abc + 3};$ $ poniamo $ $S := a+b+c = abc$ $ e semplifichiamo:
$ $S \geqslant 3\sqrt{3}$ $. Per dimostrare questa disuguaglianza, applichiamo AM-GM alla terna $ $(a, b, c)$ $:
$ $\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc}$ $, ma anche $ $a+b+c = abc$ $, quindi, con la notazione di prima, $ $\frac{S}{3} \geqslant \sqrt[3]{S}$ $, cioe` $ $S^3 \geqslant 27S$ $, dunque $ $S^2 \geqslant 27$ $, e poiche' $ $S>0$ $, $ $S \geqslant 3\sqrt{3}$ $.
Spero che sia giusta!
$ $\frac{\left(\sum \frac{1}{3}a\right)^2}{\sum \frac{1}{3}a + 1} \geqslant \frac{\sqrt{3} abc}{abc + 3};$ $ poniamo $ $S := a+b+c = abc$ $ e semplifichiamo:
$ $S \geqslant 3\sqrt{3}$ $. Per dimostrare questa disuguaglianza, applichiamo AM-GM alla terna $ $(a, b, c)$ $:
$ $\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc}$ $, ma anche $ $a+b+c = abc$ $, quindi, con la notazione di prima, $ $\frac{S}{3} \geqslant \sqrt[3]{S}$ $, cioe` $ $S^3 \geqslant 27S$ $, dunque $ $S^2 \geqslant 27$ $, e poiche' $ $S>0$ $, $ $S \geqslant 3\sqrt{3}$ $.
Spero che sia giusta!
Ultima modifica di stefanos il 09 feb 2009, 16:31, modificato 1 volta in totale.
Physics is like sex. Sure, it may give some practical results, but that's not why we do it.
Edriv: c=c+2; "tu sarai ricordato come `colui che ha convertito edriv alla fisica' ;)"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine sono macchine di Turing pure loro, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Edriv: c=c+2; "tu sarai ricordato come `colui che ha convertito edriv alla fisica' ;)"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine sono macchine di Turing pure loro, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Re: Altra disuguaglianza
Poniamo $ \displaystyle~p=a+b+c=abc $... Per AM-GM abbiamo $ \displaystyle~a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc} $,
da cui $ \displaystyle~p^3\ge27p\Rightarrow p\left(p-3\sqrt 3\right)\left(p+3\sqrt 3\right)\ge0 $ che dà infine $ \displaystyle~p\ge 3\sqrt3 $.
Ora, la funzione $ \displaystyle~f\left(x\right)=\frac{x^2}{x+1} $ è convessa per $ \displaystyle~x\in \mathbb{R}^+ $, per cui:
$ \displaystyle~\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{a+1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{b^2}{b+1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2}{\frac{a+b+c}{3}+1} $
e quindi:
$ \displaystyle~\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{3\cdot\frac{p^2}{9}}{\frac{p+3}{3}} $
$ \displaystyle~\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{p^2}{p+3}\ge3\sqrt 3\frac{abc}{abc+3} $, che è la tesi.
da cui $ \displaystyle~p^3\ge27p\Rightarrow p\left(p-3\sqrt 3\right)\left(p+3\sqrt 3\right)\ge0 $ che dà infine $ \displaystyle~p\ge 3\sqrt3 $.
Ora, la funzione $ \displaystyle~f\left(x\right)=\frac{x^2}{x+1} $ è convessa per $ \displaystyle~x\in \mathbb{R}^+ $, per cui:
$ \displaystyle~\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{a+1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{b^2}{b+1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2}{\frac{a+b+c}{3}+1} $
e quindi:
$ \displaystyle~\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{3\cdot\frac{p^2}{9}}{\frac{p+3}{3}} $
$ \displaystyle~\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{p^2}{p+3}\ge3\sqrt 3\frac{abc}{abc+3} $, che è la tesi.
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
E va bene, questa volta hai vinto tu Eheh 
Ora siamo pari! 
Ora siamo pari! Physics is like sex. Sure, it may give some practical results, but that's not why we do it.
Edriv: c=c+2; "tu sarai ricordato come `colui che ha convertito edriv alla fisica' ;)"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine sono macchine di Turing pure loro, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Edriv: c=c+2; "tu sarai ricordato come `colui che ha convertito edriv alla fisica' ;)"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine sono macchine di Turing pure loro, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Nell'ultima credo che intendessi $ 3\sqrt3 $. Per il resto è perfect.stefanos ha scritto:...dunque $ $S^2 \geqslant 27$ $, e poiche' $ $S>0$ $, $ $S \geqslant 3\sqrt[3]{3}$ $.
Spero che sia giusta!
Ottimo a tutti e due.
La mia soluzione faceva uso della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
$ [(a+1)+(b+1)+(c+1)]\left[\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right]\ge(a+b+c)^2 $ da cui $ \frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3}\ge\frac{3\sqrt3abc}{abc+3} $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Ho corretto, grazie.
La tua soluzione e` piu` diretta e rapida
La tua soluzione e` piu` diretta e rapida
Physics is like sex. Sure, it may give some practical results, but that's not why we do it.
Edriv: c=c+2; "tu sarai ricordato come `colui che ha convertito edriv alla fisica' ;)"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine sono macchine di Turing pure loro, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Edriv: c=c+2; "tu sarai ricordato come `colui che ha convertito edriv alla fisica' ;)"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine sono macchine di Turing pure loro, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]