la + piccola differenza

[exodd]

siano a,b,c,d numeri naturali minori di x , altro numero naturale positivo
poniamo che
a/b - c/d in modulo sia uguale ad n , numero reale positivo (diverso da zero)
trovare il minimo n possibile

[g(n)]

Ma intendi in funzione di x?

[exodd]

sisi

[g(n)]

Ok, era solo per chiedere...non preoccuparti, non posto la soluzione...non vorrei commettere un infanticidio

[exodd]

va bè... ma qualcuno risponde??
ah, mi sono scordato di aggiungere own nel titolo

[Federiko]

siano ab,c,d numeri naturali minori di x

A scanso di equivoci, penso che tra $ a $ e $ b $ ci sia una virgola

[jordan]

Siano $ (a,b,c,d,x) \in (\mathbb{N}_0)^5 $ tali che $ \max\{a,b,c,d\}<x $ fissati. Trovare $ 0<n:=\min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\} $.

Soluzione. Ovviamente $ x>2 $. Se $ b=d $ allora $ \min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\}=\frac{1}{x-1} $. Se $ b \neq d $ allora $ \frac{1}{x-1} \ge \min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\} \ge \frac{1}{(x-1)(x-2)}:=n $, verificato in $ a=b-x+3=c=d-x+2=1 $.

[Maioc92]

anch'io sono arrivato alla stessa conclusione.....ma ho 2 domande:
1) perchè hai fatto i 2 casi b=d e b<>d? b=d non minimizza n quindi non è inutile considerarlo?
2)come si dimostra che quella configurazione è quella che minimizza n? In effetti sembra sia cosi ma si può fare una dimostrazione generale?

[exodd]

quesito bonus:

Siano $ (a,b,c,d,x) \in (\mathbb{N}_0)^5 $ tali che $ \max\{a,b,c,d\}<x $ fissati. Trovare $ 0<n:=\min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\} $.

con a diverso da c e b diverso da d

[Maioc92]

da prima abbiamo che n è minimo se a/b-c/d è uguale a 1/(x-2)-1/(x-1) che però equivale sempre a (x-2)/(x-1)-(x-3)/(x-2) che invece soddisfa le nuove condizioni.
Quindi a=x-2
b=x-1
c=x-3
d=x-2

Scusate per come scrivo ma ancora nn ho avuto tempo di imparare il latex

[jordan]

2)come si dimostra che quella configurazione è quella che minimizza n? In effetti sembra sia cosi ma si può fare una dimostrazione generale?

Devi minimizzare $ \displaystyle |\frac{ad-bc}{bd}| $. Otteniamo sicuramente il minimo se minimizzi il numeratore e anche massimizzi il denominatore.

Quesito bonus.
Siano $ (a,b,c,d,x) \in (\mathbb{N}_0)^5 $ tali che $ \max\{a,b,c,d\}<x $ fissati. Trovare $ n:=\min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\} $sotto il vincolo $ |(ad-bc)(a-c)(b-d)|>0 $.

Da prima abbiamo che $ n:=\min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\} $ è uguale a $ \displaystyle n=|\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}|=|\frac{x-2}{x-1}-\frac{x-3}{x-2}| $ che invece soddisfa le nuove condizioni.

Ciò che dici è vero solo se $ x>3 $; nel caso rimanente wlog $ a=c-1=1 $ e $ bd=2 $ da cui $ n=\frac{3}{2} $.