Triangoli

[stephanboy2030]

Domanda sui triangoli:

Ho un triangolo equilatero di cui conosco il lato. Prendiamo un punto interno a questo triangolo e colleghiamolo con tutti i vertici del triangolo. Conosciamo gli angoli ( la cui somma è 360° ) formati dai segmeti che partono dai vertici e finiscono in questo punto.
Voglio sapere la lunghezza di tutti e tre i segmenti che congiungono i vertici con questo punto ( casuale ) interno al triangolo equilatero.


Poco comprensibile credo...

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

metodo trigonometrico


chiamiamo P il puinto interno e $ \angle BPA = a, \ \angle CPA = b , \ \angle APB = c $. Chiamiamo $ \angle BAP =k $ allora per il teorema dei seni su PAB e PAC abbiamo:

$ \displaystyle \frac{\sin (60-k+b)}{\sin b}=\frac{\sin (k+c)}{\sin c} \ \Longleftrightarrow \ \sin c \cdot \sin (60-k+b)= \sin (k+c) \cdot \sin b \ \Longleftrightarrow \ $

$ \displaystyle \sin c \cdot (\sin (60+b) \cos k - \sin k \cos (60+b) ) = \sin b ( \sin k \cos c + \cos k \sin c) \ \Longleftrightarrow \ $


$ \displaystyle \sin c \sin (60+b) - \tan k \sin c \cos (60+b) = \sin b \tan k \cos c + \sin b \sin c \ \Longleftrightarrow \ $


$ \displaystyle \tan k = \frac{\sin c \sin (60+b) -\sin b \sin c }{\sin b \cos c + \sin c \cos (60+b)} $ da cui $ \displaystyle k = \arctan \frac{\sin c \sin (60+b) -\sin b \sin c }{\sin b \cos c + \sin c \cos (60+b)} $

quindi abbiamo

$ \displaystyle AP = \frac{l \sin (k+c)}{\sin c} $
$ \displaystyle BP = \frac{l \sin k}{\sin c} $
$ \displaystyle BP = \frac{l \sin (60-k)}{\sin b} $

[stephanboy2030]

Grassie mille.

Oggi ci stavo impazzendo e devo dire che stavo facendo troppi conti in effetti.

E' un problema di elettronica di potenza, dove c'è un triangolo chiamato "triangolo delle potenze".

Ora sono stanco della giornata ma domani ci dò un'occhiata alla tua soluzione.

[karl]

Ho seguito un procedimento diverso ,basato sul fatto che i punti che "vedono" un
segmento dato sotto un angolo assegnato stanno su di una particolare circonferenza.
Poiché presumo che a stephanboy2030 il procedimento non interessi più di tanto,
mi limito a riportare le formule per il calcolo delle 3 distanze.
In ciò che segue P è il punto interno al triangolo ABC,L è il lato di quest'ultimo
e $ \alpha,\beta,\gamma $ sono gli angoli BPC,APC ed APB rispettivamente
( non gli angoli interni di ABC che ,in questo caso,sono tutti di 60°).
Si ha allora che :
$ \displaystyle\bar{PA}=L\cdot\frac{\sin(\alpha-\frac{\pi}{3})}{\sqrt{\sin^2\beta+\sin^2\gamma+2\sin\beta\sin\gamma\cos(\alpha-\frac{\pi}{3})}} $

$ \displaystyle\bar{PB}=L\cdot\frac{\sin(\beta-\frac{\pi}{3})}{\sqrt{\sin^2\gamma+\sin^2\alpha+2\sin\gamma\sin\alpha\cos(\beta-\frac{\pi}{3})}} $

$ \displaystyle\bar{PC}=L\cdot\frac{\sin(\gamma-\frac{\pi}{3})}{\sqrt{\sin^2\alpha+\sin^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta\cos(\gamma-\frac{\pi}{3})}} $

Ho controllato le formule in qualche caso particolare e danno risultati giusti.