Cesenatico 94

[LordJordan]

Chi mi dà una mano? y^2=x^3+16... soluzioni intere... come posso ragionare? a parte ovvie scomposizioni del tipo differenza di due quadrati portando il 16 dall'altra parte... poi ho considerato il caso y pari uguale a 2k ma comunque non trovo via d'uscita se non in infiniti calcoli... grazie:)

[fede90]

questo (maledetto) problema è gia stato postato almeno una volta su questo sito...

HINT si scompone come (y-4)(y+4)=x^3 e si ragiona sul MCD tra (y-4) e (y+4). Ora rimane solo qualche caso da analizzare...

[LordJordan]

Perfetto... ma non c'è nessuno che possa comunque aiutarmi o quantomeno dirmi dove è già stata postata una soluzione?

[SkZ]

ampliamo l'aiutino di fede90
posto $ ~a=y-4 $ abbiamo
$ ~a(a+8)=x^2 $
quindi abbiamo che $ $\frac{a}{(a,a+8)} $ e $ $\frac{a+8}{(a,a+8)} $ sono dei quadrati perfetti
NB: anche 1 e' un quadrato perfetto!

Se $ ~(a,a+8) $ e' un quadrato perfetto, ergo $ ~a $ e $ ~a+8 $ sono 2 quadrati perfetti. Quindi abbiamo $ ~a=\dots $

posto $ ~(a,a+8)=k\neq n^2, \forall n\in \mathbb{N} $, abbiamo $ ~a+8\equiv a \pmod{k}\Rightarrow 8\equiv 0 \pmod{k} $, quindi $ ~k=\dots $

PS: continua tra poco che devo apssare siotto linux che lun ho un convegno e devo produrre un po' di grafici

[Iuppiter]

$ ~a(a+8)=x^2 $

ma non era $ a(a+8)=x^3 $

[SkZ]

Vero! scusate andato a memoria (si nota che sto lavorando troppo? )

allora, vediamo cosa recuperare (mi pare poco )

posto $ ~a=y-4 $ abbiamo
$ ~a(a+8)=x^3 $
posto $ ~k=(a,a+8) $, abbiamo $ ~a+8\equiv a \pmod{k}\Rightarrow 8\equiv 0 \pmod{k} $, quindi $ ~k=\dots $

PS: attimo che penso alresto

[SkZ]

finiti i miei grafichetti, torniamo al 'lavoro".

allora abbiamo $ ~a=bk $ e $ ~a+8=ck $ con $ ~(b,c)=1 $ $ ~bck^2=x^3 $ e $ ~k|8 $
poi dipende da che valori puo' avere k. In questo caso si ha $ ~k=p^n $
se k e' un cubo perfetto lo sono anche b e c, quindi ...
se $ ~n\equiv1 \mod 3 $, allora ...
se $ ~n\equiv2 \mod 3 $, allora ...