vecchio cesenatico (1993)
vecchio cesenatico (1993)
Trovare tutte le coppie p, q di primi (positivi) tali che $ 5x^2 + px + q $ abbia soluzioni razionali distinte.
Alex 90, già l'esercizio è facile, potresti almeno conlcuderlo..
(@ Veluca) : Trovare tutti i polinomi monici $ P(x) $ della forma $ x^n+p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+...+p_n $ ,dove i $ \{p_i\} $ sono tutti primi, tali che $ P(-1) \neq 0 $ e tutte le radici sono razionali e distinte.
(@ Veluca) : Trovare tutti i polinomi monici $ P(x) $ della forma $ x^n+p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+...+p_n $ ,dove i $ \{p_i\} $ sono tutti primi, tali che $ P(-1) \neq 0 $ e tutte le radici sono razionali e distinte.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
ok, mi sono accorto di aver fatto una domanda inutile... provo a dimostrarlo
$ x^n+p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+...+p_n $
1) Se il polinomio ha radici razionali, esse sono divisori di $ p_n $ per il teorema del resto (mi pareva si chiamasse così ^^'). Di conseguenza se ha radici razionali esse sono comprese tra $ -p_n $, 1, $ p_n $ (-1 è escluso per ipotesi).
2) Il coefficiente di $ x^{n-1} $ sarà dunque $ p_n-p_n+1=1 $, che non è primo, e quindi non va bene. Allora il polinomio avrà al massimo due radici, cioè $ p_n,-p_n\vee p_n,1 \vee -p_n,1 \vee 1 \vee p_n \vee -p_n $
2.1) il primo caso non va bene perchè sarebbe $ p_1=0 $, che non è primo.
2.2) il polinomio può essere scritto come $ x^2-(p_n+1)x+p_n $, ovvero $ p_n $ deve essere pari e quindi 2: si ha il polinomio $ x^2-3x+2 $ che effettivamente ha radici razionali diverse da -1.
2.3) $ x^2+(p_n-1)x-p_n $, quindi $ p_n-1 $ deve essere un primo dispari --> $ x^2+2x-3 $ che effettivamente ha radici razionali diverse da -1.
2.4) x+1 -> 1 non è primo
2.5 e 2.6) $ x\pm p=0 $ con p primo che ha come radici $ \mp p $.
In definitiva i polinomi che verificano le condizioni sono $ x^2-3x+2 $, $ x^2+2x-3 $, $ x\pm p=0 $ con p primo
$ x^n+p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+...+p_n $
1) Se il polinomio ha radici razionali, esse sono divisori di $ p_n $ per il teorema del resto (mi pareva si chiamasse così ^^'). Di conseguenza se ha radici razionali esse sono comprese tra $ -p_n $, 1, $ p_n $ (-1 è escluso per ipotesi).
2) Il coefficiente di $ x^{n-1} $ sarà dunque $ p_n-p_n+1=1 $, che non è primo, e quindi non va bene. Allora il polinomio avrà al massimo due radici, cioè $ p_n,-p_n\vee p_n,1 \vee -p_n,1 \vee 1 \vee p_n \vee -p_n $
2.1) il primo caso non va bene perchè sarebbe $ p_1=0 $, che non è primo.
2.2) il polinomio può essere scritto come $ x^2-(p_n+1)x+p_n $, ovvero $ p_n $ deve essere pari e quindi 2: si ha il polinomio $ x^2-3x+2 $ che effettivamente ha radici razionali diverse da -1.
2.3) $ x^2+(p_n-1)x-p_n $, quindi $ p_n-1 $ deve essere un primo dispari --> $ x^2+2x-3 $ che effettivamente ha radici razionali diverse da -1.
2.4) x+1 -> 1 non è primo
2.5 e 2.6) $ x\pm p=0 $ con p primo che ha come radici $ \mp p $.
In definitiva i polinomi che verificano le condizioni sono $ x^2-3x+2 $, $ x^2+2x-3 $, $ x\pm p=0 $ con p primo
Quando ho imposto il coefficiente direttivo monico non mi sono reso conto che la forma delle possibili radici si semplificava ancora di piu 
e non potevo lasciarlo anch'esso come primo perchè si sarebbero tirati fuori problemi ancora aperti..
Vabo meglio di niente, almeno s'è capito come si risolve il problema di partenza
Visto che mi ci trovo scrivo anche una riga di soluzione per completare il thread..
Detto $ p(x)=5x^2+px+q $ allora $ p(\alpha)=0 \implies \alpha<0 $ e inoltre $ \alpha \in \{-1,-\frac{q}{5},-\frac{1}{5},-q\} $. Ma dato che sono razionali e distinti abbiamo due soli casi $ 1+\frac{q}{5}=\frac{p}{5} $ oppure $ \frac{1}{5}+q=\frac{p}{5} $ che portano a $ (p,q) \in \{(7,2),(11,2)\} $
e non potevo lasciarlo anch'esso come primo perchè si sarebbero tirati fuori problemi ancora aperti..Vabo meglio di niente, almeno s'è capito come si risolve il problema di partenza
Visto che mi ci trovo scrivo anche una riga di soluzione per completare il thread..
Detto $ p(x)=5x^2+px+q $ allora $ p(\alpha)=0 \implies \alpha<0 $ e inoltre $ \alpha \in \{-1,-\frac{q}{5},-\frac{1}{5},-q\} $. Ma dato che sono razionali e distinti abbiamo due soli casi $ 1+\frac{q}{5}=\frac{p}{5} $ oppure $ \frac{1}{5}+q=\frac{p}{5} $ che portano a $ (p,q) \in \{(7,2),(11,2)\} $
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