Pentagono e punti medi
Pentagono e punti medi
Un pentagono convesso ABCDE ha i lati di lunghezza 1,2,3,4,5, non necessariamente in quest'ordine. Siano F,G,H,I i punti medi dei lati AB,BC,CD, DE rispettivamente. Sia X il punto medio del segmento FH, e Y il punto medio del segmento GI. La lunghezza di XY è un numero intero. Quanto è lungo il lato AE?
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...
$ \displaystyle\vec F=\frac{\vec A+\vec B}2 $ e simili per $ \vec G, \vec H, \vec I $.
Quindi $ \displaystyle\vec X=\frac{\vec A+\vec B+\vec C+\vec D}4 $ e $ \displaystyle\vec Y=\frac{\vec B+\vec C+\vec D+\vec E}4 $.
Allora $ \displaystyle|\vec X-\vec Y|=\frac{|\vec A-\vec E|}4\in\mathbb{Z} $, da cui $ |\vec A-\vec E| $ deve essere multiplo di $ 4 $, ovvero è proprio uguale a $ 4 $.
Quindi $ \displaystyle\vec X=\frac{\vec A+\vec B+\vec C+\vec D}4 $ e $ \displaystyle\vec Y=\frac{\vec B+\vec C+\vec D+\vec E}4 $.
Allora $ \displaystyle|\vec X-\vec Y|=\frac{|\vec A-\vec E|}4\in\mathbb{Z} $, da cui $ |\vec A-\vec E| $ deve essere multiplo di $ 4 $, ovvero è proprio uguale a $ 4 $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]