x^2+3y e y^2+3x quadrati perfetti
x^2+3y e y^2+3x quadrati perfetti
Trovare tutti le coppie (x,y) di interi positivi tali che $ x^2+3y $ e $ y^2+3x $ siano entrambi quadrati perfetti
The only goal of science is the honor of the human spirit.
poichè x e y sono entrambi positivi, si avrà che $ x^2+3y>x^2 \wedge y^2+3x>y^2 $, quindi
$ \begin {cases} 3y=2nx+n^2\\ 3x=2ky+k^2 \end{cases} $
quindi, sommando membro a membro
$ 3y+3x=2nx+2ky+n^2+k^2\\ n^2+k^2=(3-2n)x+(3-2k)y $
poichè il primo membro è positivo e x,y anche, (3-2n) e (3-2k) dovranno essere positivi, quindi vanno bene solo n,k=1, oppure uno positivo e uno negativo.
caso A) Si ottiene quindi
$ \begin {cases} 2x-3y=-1\\ 3x-2y=1 \end {cases} \Rightarrow x=1;y=1 $
caso B) uno dei due tra n e k deve essere uguale a 1, quindi
$ \begin {cases} 3y=2x+1\\ 3x=2ky+k^2 \end {cases} $
$ \begin {cases} x=(3y-1)/2\\ (9-4k)y=2k²+3 \end {cases} $
sarà quindi k=1 o k=2. k=1 è già stato analizzato, quindi k=2; si ottiene
x=16
y=11 che va bene
l'altro caso è simmetrico, quindi le uniche soluzioni sono (1,1), (11,16), (16,11)
edit: ooops... avevo incollato la mia "brutta copia" e ho mandato "invia" invece di "anteprima"
edit2: aggiunto il caso B
$ \begin {cases} 3y=2nx+n^2\\ 3x=2ky+k^2 \end{cases} $
quindi, sommando membro a membro
$ 3y+3x=2nx+2ky+n^2+k^2\\ n^2+k^2=(3-2n)x+(3-2k)y $
poichè il primo membro è positivo e x,y anche, (3-2n) e (3-2k) dovranno essere positivi, quindi vanno bene solo n,k=1, oppure uno positivo e uno negativo.
caso A) Si ottiene quindi
$ \begin {cases} 2x-3y=-1\\ 3x-2y=1 \end {cases} \Rightarrow x=1;y=1 $
caso B) uno dei due tra n e k deve essere uguale a 1, quindi
$ \begin {cases} 3y=2x+1\\ 3x=2ky+k^2 \end {cases} $
$ \begin {cases} x=(3y-1)/2\\ (9-4k)y=2k²+3 \end {cases} $
sarà quindi k=1 o k=2. k=1 è già stato analizzato, quindi k=2; si ottiene
x=16
y=11 che va bene
l'altro caso è simmetrico, quindi le uniche soluzioni sono (1,1), (11,16), (16,11)
edit: ooops... avevo incollato la mia "brutta copia" e ho mandato "invia" invece di "anteprima"
edit2: aggiunto il caso B
Benissimo Veluca: soluzione alternativa a mio parere meno diretta (vederla non fa mai male credo 
) : ponendo per assurdo che $ x^2+3y \ge (x+2)^2 $ e $ y^2+3x \ge (y+2)^2 $ e sommando otteniamo $ 0 \ge x+y+8 $, assurdo, per cui wlog $ x^2 < x^2+3y < (x+2)^2 \implies x^2+3y=(x+1)^2 $, e da qui si conclude in poco..
Ho letto stamattina da un sito sparso su internet:
Bonus:"Trovare tutti le coppie di interi x,y tali che $ x^2+3y $ e $ y^2+3x $ siano entrambi quadrati perfetti".
(ps. Sinceramente ancora non ci provo per mancanza di tempo..)
) : ponendo per assurdo che $ x^2+3y \ge (x+2)^2 $ e $ y^2+3x \ge (y+2)^2 $ e sommando otteniamo $ 0 \ge x+y+8 $, assurdo, per cui wlog $ x^2 < x^2+3y < (x+2)^2 \implies x^2+3y=(x+1)^2 $, e da qui si conclude in poco..Ho letto stamattina da un sito sparso su internet:
Bonus:"Trovare tutti le coppie di interi x,y tali che $ x^2+3y $ e $ y^2+3x $ siano entrambi quadrati perfetti".
(ps. Sinceramente ancora non ci provo per mancanza di tempo..)
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