Sia dato un triangolo di base e altezza $ a+b $. Sapendo che l'altezza divide la base in parti proporzionali ad $ a $ e $ b $, il triangolo puo avere tutti i lati interi?
triangolo a lati interi -own (o almeno spero..)
triangolo a lati interi -own (o almeno spero..)
Siano $ (a,b) $ due interi positivi fissati.
Sia dato un triangolo di base e altezza $ a+b $. Sapendo che l'altezza divide la base in parti proporzionali ad $ a $ e $ b $, il triangolo puo avere tutti i lati interi?
Sia dato un triangolo di base e altezza $ a+b $. Sapendo che l'altezza divide la base in parti proporzionali ad $ a $ e $ b $, il triangolo puo avere tutti i lati interi?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Tento, anche se credo proprio sia sbagliata...
Dato che non so disegnare in Tex
cerco di descrivere la figura su cui mi baso:
triangolo con base AB (A a sinistra) e altezza CH. Il testo dice che CH=AB e che detto AH=m e BH=n si ha $ \frac{m}{a} = \frac{n}{b} $ e $ m+n=a+b $ da cui si ricava in fretta che $ a=m $ e $ b=n $. Ora detti i 2 lati obliqui $ AC=c $ e $ BC=d $, per il TEOREMA DI CARNOT, si avrà: $ d^2=(a+b)^2+c^2-2*(a+b)c*cos A $ (dove A è l'angolo in A). Supponendo ora per assurdo che c e d siano interi si dovrà avere $ cos A $ intero a sua volta. Ma questo è possibile solo se $ cos A=-1 $ cioè per $ A=180° $ che è palesemente assurdo; $ cos A=0 $ cioè $ A=90° $ ma in tal caso H andrebbe a coincidere con A e si otterrebbe un triangolo rettangolo isoscele in cui dunque l'ipotenusa misurerebbe $ rad2 $ (mi dispiace ma non so scrivere la radice ) che non è intero; o infine $ cos A=1 $ da cui $ A=0° $ o $ A=360° $ che portano di nuovo ad assurdi. Sembra giusta?
Dato che non so disegnare in Tex
cerco di descrivere la figura su cui mi baso:triangolo con base AB (A a sinistra) e altezza CH. Il testo dice che CH=AB e che detto AH=m e BH=n si ha $ \frac{m}{a} = \frac{n}{b} $ e $ m+n=a+b $ da cui si ricava in fretta che $ a=m $ e $ b=n $. Ora detti i 2 lati obliqui $ AC=c $ e $ BC=d $, per il TEOREMA DI CARNOT, si avrà: $ d^2=(a+b)^2+c^2-2*(a+b)c*cos A $ (dove A è l'angolo in A). Supponendo ora per assurdo che c e d siano interi si dovrà avere $ cos A $ intero a sua volta. Ma questo è possibile solo se $ cos A=-1 $ cioè per $ A=180° $ che è palesemente assurdo; $ cos A=0 $ cioè $ A=90° $ ma in tal caso H andrebbe a coincidere con A e si otterrebbe un triangolo rettangolo isoscele in cui dunque l'ipotenusa misurerebbe $ rad2 $ (mi dispiace ma non so scrivere la radice
) che non è intero; o infine $ cos A=1 $ da cui $ A=0° $ o $ A=360° $ che portano di nuovo ad assurdi. Sembra giusta?Edoardo
