Definiamo la sequenza:
$ a_0=3 $
$ a_1=0 $
$ a_2=2 $
$ a_{n+3}=a_{n+1}+a_n $ per ogni $ n\ge 0 $
Mostrare che $ p \in P \implies p|a_p $
p|x_p, in x_{n+3}=x_{n+1}+x_n
p|x_p, in x_{n+3}=x_{n+1}+x_n
Sia $ P $ l'insieme dei primi.
Definiamo la sequenza:
$ a_0=3 $
$ a_1=0 $
$ a_2=2 $
$ a_{n+3}=a_{n+1}+a_n $ per ogni $ n\ge 0 $
Mostrare che $ p \in P \implies p|a_p $
Definiamo la sequenza:
$ a_0=3 $
$ a_1=0 $
$ a_2=2 $
$ a_{n+3}=a_{n+1}+a_n $ per ogni $ n\ge 0 $
Mostrare che $ p \in P \implies p|a_p $
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: p|x_p, in x_{n+3}=x_{n+1}+x_n
Editato messaggio delirantejordan ha scritto:Sia $ P $ l'insieme dei primi.
Definiamo la sequenza:
$ a_0=3 $
$ a_1=0 $
$ a_2=2 $
$ a_{n+3}=a_{n+1}+a_n $ per ogni $ n\ge 0 $
Mostrare che $ p \in P \implies p|a_p $
Ultima modifica di Haile il 15 mar 2009, 15:02, modificato 1 volta in totale.
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Vista l'immensa quantità di problemi del buon jordan che sono stati allegramente abbandonati a sé stessi, posto la mia soluzione a questo:
Siano $ \alpha , \beta , \gamma $ le radici del polinomio $ x^3-x-1 $
Si può verificare facilmente che $ a_n=\alpha ^n +\beta ^n +\gamma ^n $
Sia p un generico primo. Consideriamo il polinomio $ x^3-x-1 $ come un polinomio a coefficienti in $ \mathbb{F}_p $ e prendiamo il suo campo di spezzamento che chiamiamo $ \mathbb{F} $. Chiaramente $ \mathbb{F} $ ha caratteristica p.
Quindi ragionando in $ \mathbb{F} $ abbiamo che:
$ a_p=\alpha ^p +\beta ^p +\gamma ^p =(\alpha +\beta +\gamma)^p=a_1 ^p =0^p =0 $ da cui la tesi.
Siano $ \alpha , \beta , \gamma $ le radici del polinomio $ x^3-x-1 $
Si può verificare facilmente che $ a_n=\alpha ^n +\beta ^n +\gamma ^n $
Sia p un generico primo. Consideriamo il polinomio $ x^3-x-1 $ come un polinomio a coefficienti in $ \mathbb{F}_p $ e prendiamo il suo campo di spezzamento che chiamiamo $ \mathbb{F} $. Chiaramente $ \mathbb{F} $ ha caratteristica p.
Quindi ragionando in $ \mathbb{F} $ abbiamo che:
$ a_p=\alpha ^p +\beta ^p +\gamma ^p =(\alpha +\beta +\gamma)^p=a_1 ^p =0^p =0 $ da cui la tesi.
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si naturalmente tutto giusto (il motivo di tutti questi problemi comunque è che ne sto cercando uno per finire l'olicontest.. ma alcuni tipo questo mi sembrano troppo carucci 
)-
FrancescoVeneziano
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jordan ha scritto:naturalmente tutto giusto
Suvvia, almeno mettetevi d'accordoFrancescoVeneziano ha scritto:così com'è la dimostrazione non va
Comunque la ho ricontrollata ma non trovo l'errore... Provo a riassumerla in vari passaggio, così magari ai futuri lettori sarà più chiaro dov'è l'errore:
1) sposto il problema dai naturali, dove era inizialmente stato concepito, al mio amato $ \mathbb{F}_p $ Ora la tesi diventa che $ a_p=0 $
2) se esistessero tre radici di $ x^3-x-1 $ potrei scrivere $ a_n=\alpha ^n+\beta ^n +\gamma ^n $ e sarebbe un passo avanti, ma non necessariamente il mio polinomio si scompone in fattori lineari nel mio simpatico campo $ \mathbb{F}_p $
3) ma io so che esiste il campo di spezzamento di un polinomio, che è un'estensione di $ \mathbb{F}_p $ dove il mio polinomio si scompone in fattori lineari. Lì, posto $ x^3-x-1=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma ) $ non ho difficoltà a dimostrare che $ a_n=\alpha ^n+\beta ^n +\gamma ^n $ per induzione.
4) ragionando nel mio simpatico campo di spezzamento, ho che $ a_p=\alpha ^p +\beta ^p +\gamma ^p =(\alpha +\beta +\gamma)^p=a_1 ^p =0^p =0 $ da cui la tesi.
L'unico passaggio non ovvio è $ \alpha ^p +\beta ^p +\gamma ^p =(\alpha +\beta +\gamma)^p $ che però è vero in quanto tutti gli altri monomi della potenza del trinomio compaiono un numero di volte multiplo di p, quindi siccome la caratteristica del mio campo di spezzamento è p, valgono 0.
EDIT: mi dicono che la dimostrazione funziona, è solo scritta terribilmente male..
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