5+55+555+5555+...

[Haile]

Trovare una formula chiusa per

$ $ 5+55+555+5555+ \dots \overbrace{55555}^{n ~ \textrm{cifre}} $ $

Qualche idea?

Fin'ora sono arrivato solo ad un $ $5 \cdot 10^n \cdot \sum_{k=1}^{n} k \cdot 10^{-k}$ $ che di fatto non risolve nulla

[fede90]

La riscrivi come $ $5\cdot(1+11+\dots+11\dots 11)=5 \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^{i-1} 10^j$ $. Ora hai $ $\sum_{j=0}^{i-1} 10^j=\frac{10^i-1}{9}$ $ perchè è una serie geometrica.

Quindi hai $ $ \sum_{i=1}^n\frac{10^i-1}{9}=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^n (10^i-1)=\frac{1}{9}\Big( \sum_{i=1}^n 10^i -\sum_{i=1}^n 1 \Big)=\frac{1}{9}\Big( 10\cdot\frac {10^{n}-1}{9}-n \Big)$ $

Quindi la formula che cerchi è $ $\frac{5}{9}\Big( 10\cdot\frac {10^{n}-1}{9}-n \Big)$ $

[Haile]

Chiarissimo!

Grazie dell'aiuto

[Sonner]

La riscrivi come $ $5\cdot(1+11+\dots+11\dots 11)=5 \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^{i-1} 10^j$ $. Ora hai $ $\sum_{j=0}^{i-1} 10^j=\frac{10^i-1}{9}$ $ perchè è una serie geometrica.

Quindi hai $ $ \sum_{i=1}^n\frac{10^i-1}{9}=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^n (10^i-1)=\frac{1}{9}\Big( \sum_{i=1}^n 10^i -\sum_{i=1}^n 1 \Big)=\frac{1}{9}\Big( 10\cdot\frac {10^{n}-1}{9}-n \Big)$ $

Quindi la formula che cerchi è $ $\frac{5}{9}\Big( 10\cdot\frac {10^{n}-1}{9}-n \Big)$ $

Scusa ma vista la mia scarsezza non ho tanto capito la progressione geometrica... quale sarebbe la ragione?

[pak-man]

Essendo $ \displaystyle\sum_{j=0}^{i-1}10^j=1+10+100+\cdots+10^{i-1} $, la ragione è 10