2 – Dimostrare che ogni segmento ammette il punto medio.
3 – Dimostrare che ogni angolo ammette bisettrice, essendo data la seguente definizione: dato un angolo <ABC, si definisce bisettrice di <ABC la semiretta di vertice B interna all'angolo che lo divide in due angoli congruenti.
4 – Dimostrare per almeno due delle seguenti proposizioni, che l'assioma delle parallele di Hilbert è ad esse equivalente (per la Proposizione 4: dimostrare solo che ne deriva l'enunciato dell'assioma):
Proposizione 1: siano m || l, r diverso da m .
Proposizione 2: se m || l, allora gli angoli alterni interni individuati da ogni trasversale sono congruenti. Si tratta del reciproco del teorema dell'angolo alterno interno.
Proposizione 3: se k || l, m perpendicolare a k, n perpendicolare a l, allora m ed n coincidono, oppure m || n.
Proposizione 4: la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
Proposizione 5: se l || m, ed m || n, allora l || n. In altre parole la relazione di parallelismo è transitiva.
5 – A partire da un qualunque triangolo ABC di difetto d, è possibile costruire un triangolo che lo contenga tracciando le parallele ad ogni lato passanti per il vertice opposto al lato stesso. Il triangolo A1, B1, C1 così costruito è costituito da 4 triangoli congruenti al precedente, come dimostrato da Legendre, e avrà dunque difetto d1. Iterando la costruzione n volte si può allora ottenere un triangolo An, Bn, Cn di difetto dn = 4^n * d > 180. Legendre sosteneva di non usare, in tale costruzione, il V postulato. Dove fa acqua il ragionamento? Si ricorda che si definisce difetto di un triangolo la quantita 180° meno la somma degli angoli interni: in geometria euclidea è sempre nullo, ma in geometria iperbolica no.
