Disuguaglianza malefica:)

[darkxifrit]

Salve a tutti, questo è il mio primo post, non ho mai risposto a domande (perchè incapace) . Ora vi lancio una sfida:

Dimostrare che presi comunque $ a,b\in\mathbb{R}, p\geq 1 $ allora vale:
$ 2^{1-p}|a-b|^p\leq p|a-b|(|a|^{p-1}+|b|^{p-1}) $

NB: Ho risolto il quesito con l'utilizzo dell'analisi. Ora mi chiedo se esiste una soluzione "elementare".

[Tibor Gallai]

Hint: disuguaglianza triangolare e binomio di Newton.
Ma qualsiasi cosa va bene, è stra-larga come disuguaglianza.

[darkxifrit]

Non capisco, vuoi dire che è banale? mmm, vabbè, allora provo ad alzare un po' il tiro:

Dimostrare la seguente catena di disuguaglianze:
Presi $ a,b\in\mathbb{R}, p\geq 1 $
$ 2^{1-p}|a-b|^p\leq \left|a|a|^{p-1}-b |b|^{p-1}\right|\leq p|a-b|(|a|^{p-1}+|b|^{p-1}) $

Se anche questa è di facile soluzione allora scusatemi

[Haile]

Se anche questa è di facile soluzione allora scusatemi

Non c'è nulla di cui scusarsi, il forum è frequentato anche da persone non troppo esperte, per le quali comunque un problema relativamente semplice può costituire un valido esercizio; è sufficiente evitare cose troppo "scolastiche".

[fph]

Uhm, qui se c'è qualcuno che deve scusarsi sono quelli che snobbano i problemi dicendo "è banale, si fa con il teorema x e il metodo y".
Se un problema sembra facile, lasciatelo a chi è meno esperto di voi e non rovinategli il divertimento lasciando un accenno criptico di soluzione... capito TG?

[Tibor Gallai]

Uhm, qui se c'è qualcuno che deve scusarsi sono quelli che snobbano i problemi dicendo "è banale, si fa con il teorema x e il metodo y".
Se un problema sembra facile, lasciatelo a chi è meno esperto di voi e non rovinategli il divertimento lasciando un accenno criptico di soluzione... capito TG?

Ma la domanda era "esiste una dimostrazione elementare?". Ergo, il problema sarebbe andato in MNE e non al Algebra, ed io ho risposto come se si trovasse in tale sezione. Ovvero, rispondendo pertinentemente alla domanda: "sì, la dimostrazione elementare esiste". Oltretutto, il problema è palesemente non olimpico in senso stretto (ovvero, non proviene da un'olimpiade), e direi che arriva da un contesto "applicativo".

[darkxifrit]

Ah ok. Effettivamente la mia domanda è fuorviante, cerco di essere più chiaro:
Si dimostri la disuguaglianza senza strumenti di analisi.
Tibor Gallai ha ragione, non è olimpica infatti serve per dimostrare un passaggio del il teorema di Mazur.