x^2+1=y^3

[Inkio]

Fatto... Dovrebbero essere primi fra loro eccetto che nei casi in cui y=-2, 0, 2, 4
E' così?

Mmmh...come hai fatto a dirlo?

[Fedecart]

Fatto... Dovrebbero essere primi fra loro eccetto che nei casi in cui y=-2, 0, 2, 4
E' così?

Mmmh...come hai fatto a dirlo?

$ n=\frac{y^2+y+1}{y-1} $ Se per qualche valore di y si ha un n intero, allora per quei valori $ yì2+y+1 $ è multiplo di $ y-1 $
Riscriviamo come $ \frac{y-1+y^2+2}{y-1}=1+\frac{y^2+2}{y-1}=1+\frac{y^2-1+3}{y-1}=1+\frac{(y+1)(y-1)+3}{y-1}=1+(y+1)+\frac{3}{y-1} $
quest'ultima cosa è intera se $ \frac{3}{y-1} $ è intero, il che avviene per y=-2
y=0
y=2
y=4

[Inkio]

Fatto... Dovrebbero essere primi fra loro eccetto che nei casi in cui y=-2, 0, 2, 4
E' così?

Mmmh...come hai fatto a dirlo?

$ n=\frac{y^2+y+1}{y-1} $ Se per qualche valore di y si ha un n intero, allora per quei valori $ yì2+y+1 $ è multiplo di $ y-1 $
Riscriviamo come $ \frac{y-1+y^2+2}{y-1}=1+\frac{y^2+2}{y-1}=1+\frac{y^2-1+3}{y-1}=1+\frac{(y+1)(y-1)+3}{y-1}=1+(y+1)+\frac{3}{y-1} $
quest'ultima cosa è intera se $ \frac{3}{y-1} $ è intero, il che avviene per y=-2
y=0
y=2
y=4

$ n=\frac{y^2+y+1}{y-1} $ Se per qualche valore di y si ha un n intero, allora per quei valori $ yì2+y+1 $ è multiplo di $ y-1 $
Ok, ora sappiamo che non è un multiplo, ma non che il loro MCD sia 1. esempio:15 non è multiplo di 10, tuttavia il moro MCD è 5.

[pak-man]

Se non erro,
$ MCD(y-1,y^2+y+1)=MCD(y-1,y^2+y+1-(y-1)^2)=MCD(y-1,3y)=MCD(3y,3y-3(y-1))=MCD(3y,3)=3 $
Giusto?

[Oblomov]

Se non erro,
$ MCD(y-1,y^2+y+1)=MCD(y-1,y^2+y+1-(y-1)^2)=MCD(y-1,3y)=MCD(3y,3y-3(y-1))=MCD(3y,3)=3 $
Giusto?

Sbagliato. Nel quarto passaggio ottieni semmai MCD(3y, 1).
Mi sembra che questo, insieme a quanto osservato da Fedecart, basti... erro?

[kn]

Questo è un quesito molto famoso, se lo era posto un grande matematico e lo aveva risolto con una dimostrazione pazzesca. C'è un'unica soluzione, escludendo lo 0, trovatela a mano...

qual è l'altra?

[julio14]

mmm mi sa che si sbagliano sia Oblomov che pak-man... MCD 3 è possibile, basta provare con y=4, tuttavia non è sicuro, si provi con y=3, questo perché il 3 passaggio è errato (non per i conti come dice Oblomov, ma proprio concettualmente). Tu puoi sommare o sottrarre a uno dei due numeri l'altro un numero arbitrario di volte. Ora il tuo terzo passaggio equivarrebbe a moltiplicare il secondo numero per -1, e fin qui va bene, perché ovviamente non aggiungi primi, moltiplicare per 3, e non va bene perché aggiungi, per l'appunto, il 3, e sommare 3y, che va bene. Ma quel passaggio ti frega. Fermandoti al passaggio prima, puoi notare che essendo y e y-1 primi fra loro, se l'MCD è diverso da 1, allora è necessariamente 3.

[Jack Luminous]

scusate eh, non ne ho assolutamente una dimostrazione umana, ma sono sicuro che non esistono altre soluzioni oltre a x=0

il teorema di mihailescu dice che le uniche potenze consecutive sono 8 e 9...

[kn]

non ne ho assolutamente una dimostrazione umana

Ma come no? Per quanto ha detto Giulio ci rimane da dimostrare che se 3|y-1 l'unica soluzione è (0,1) (chissà qual è l'altra?).
Se 3|y-1, y=3k+1. Cosa succede se andiamo a sostituire nell'equazione di partenza?
Io l'ho risolto così... forse c'è una soluzione più elegante

[Jack Luminous]

non ne ho assolutamente una dimostrazione umana

Ma come no?

non ho letto le varie osservazioni... però ho notato che qualcuno ha detto che esiste un'altra soluzione, cosi ho smentito senza nemmeno provare il problema

[Fedecart]

scusate eh, non ne ho assolutamente una dimostrazione umana, ma sono sicuro che non esistono altre soluzioni oltre a x=0

il teorema di mihailescu dice che le uniche potenze consecutive sono 8 e 9...

Il teorema di chi?!? Sarò molto ignorante e a digiuno di matematica ma non l'ho manco mai sentito per sbaglio... Sareste così gentili da illuminarmi via pm (sennò i mod mi impiccano per l'off topic) o aprire un topic in glossario?
Poi, uff uff questa diofantea sta diventando più tosta del previsto! Ma di che livello è, all'incirca, per intenderci? Perchè se è un febbraio mi devo preoccupare malamente, sennò, ho ancora un pochino di tempo...

[julio14]

No beh un febbraio non credo... direi un cesenatico facile, 2-3. Cmq per il teorema Catalan's conjecture.
Buona parte della TdN olimpica riguarda casi particolari di questo teorema, tuttavia è abbastanza sconsigliato ricorrere a un teoremone del genere secondo la regola del buon senso per cui se usi un teorema conosci o perlomeno sei in grado di capirne la dimostrazione. In pratica se un correttore te la trova nella soluzione non può dire nulla (credo), ma di certo sarà decisamente meno indulgente nel resto della dimostrazione.

[jordan]

cerchiamo di riassumere quel che è stato detto:
$ x^2=y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)=(y-1)[(y-1)^2+3(y-1)+3] $
Allora l'mcd tra i due fattori è 1 o 3: se sono coprimi allora $ y-1=a^2 $ e così anche $ (a^2+1)^2<y^2+y+1=b^2<(a^2+2)^2 $, assurdo.
Se invece hanno un fattore 3 in comune wlog $ y-1=3a^2 $ e $ y^2+y+1=3b^2 $ che porta a $ 3a^4+3a^2+1=b^2 $.
E adesso?




Soluzione alternativa.
Modulo 4 vediamo che 2|x, cosicchè nell'anello euclideo $ [tex] $Z[/tex] i termini $ x+i $ e $ x-i $ sono coprimi, i.e. entrambi cubi perfetti. Per cui esistono $ (a,b) \in \mathbb{Z}^2 $ t.c. $ (a+bi)^3=x+i $. Comparando il termine in $ i $ otteniamo l'unica soluzione $ (a,b)=(0,-1) $ da cui l'unica soluzione in $ (x,y)=(0,1) $.
Problema alternativo, con identica soluzione: Mostrare che 26 è l'unico intero compreso tra un quadrato e un cubo.

Nota aggiunta dopo il link di piever: se $ x^2+1=y^n $ allora $ 2|x $ (infatti assumendo il contrario avremmo $ 4|y^n-2 $, assurdo). Da qui si conclude indenticamente a prima.