Condizioni sull'indice di radice

[Thebear]

Scusate se la mia domanda non è molto olimpica...

Domani ho il compito su esponenziali e logaritmi e facendo un po' di esercizi mi pare di capire che l'indice di radice deve essere considerato sempre intero e positivo (non nullo). D'accordo per il non nullo, però perchè intero??? E perché per forza positivo??? Facendo degli esempi con la calcolatrice viene sempre un risultato, qualsiasi sia l'indice (ovvio che il radicando è positivo...), Quindi perchè non sono accettabili queste soluzioni?

Grazie!

[Tibor Gallai]

Il motivo è solo notazionale: se l'indice di radice fosse non intero o non positivo, lo metteresti come esponente.

[Thebear]

No, ma la cosa è diversa. Ad esempio se viene (scusate ma non so scriverlo in TeX...): radice (3-x)-esima di 3 < 9 invece di dare come soluzione x minore di 2,5 o x maggiore di 3 (come sarebbe sensato scrivere dato che è giusto, o almeno credo) scrive x=0 v x=1 v x=2

[Tibor Gallai]

Se scrive esplicitamente la radice, allora l'indice può essere solo intero positivo. Per quanto possa essere diseducativa come idea, penso che sia solo un fatto notazionale. Se mettesse un esponente anziché una radice, allora andrebbero bene tutte le soluzioni.

[Thebear]

Mah... La notazione non mi sembra una buona ragione per escludere delle soluzioni... Altrimenti io decido di dividere ambo i membri di un'equazione per (x-0)(x-1)(x-2)(x+1)(x+1.53)... ecc e metto tutti i reali così dico molto tranquillamente "mi dispiace ma non ci sono soluzioni perchè la mia notazione imponeva x diverso da tutti reali..."

EDIT: con questo non intendo darti contro: ho capito cosa intendi e penso tu abbia ragione, solo ce l'ho con il mio libro che mette delle condizioni prive di senso (e poi magari nel compito la prof le vuole così impariamo tutti una cosa sbagliata...)

[Tibor Gallai]

Eh? No guarda, la cosa ha perfettamente senso di per sé, senza alcuna forzatura. L'unica mia obiezione è che sia diseducativa l'idea, ed infatti ti sta facendo confondere senza motivo...
Comunque non ho capito bene gli esempi che fai, forse il LaTeX aiuterebbe.

[Tibor Gallai]

Ah, ho capito la 2^ cosa che dici: tu divideresti un'equazione per (x-k), dove k varia tra tutti i reali. Non puoi farlo per 2 motivi: primo, i reali sono "troppi", non formano una successione, e la produttoria non è ben definita. Secondo, dividendo per (x-k) stai imponendo che x sia diverso da k. Quindi, la soluzione eventuale x=k andrebbe verificata a mano, ed andrebbe comunque aggiunta al risultato finale.

D'altra parte, se nel tuo testo c'è già un (x-k) a denominatore, è giusto escludere x=k dalle soluzioni.

[Thebear]

Intendevo (radice con indice (3-x) di 3) minore di 9. Che soluzioni daresti?

[Tibor Gallai]

$ ~\displaystyle\sqrt[3-x]3 < 9 $.
Affinché sia definita l'espressione, x dev'essere intero e <3. Inoltre, ognuno di questi interi è soluzione.
Tu però dici che (qualcuno) scrive solo x=0,1,2. Chi è che scrive ciò?

[Thebear]

scusa ma ho dovuto disconnettermi, comunque è il mio libro che lo scrive!!! Ed è per questo che non ha senso! Senza contare che continuo a non capire perchè non puo esserci la radice ad indice non intero... Credo di aver capito sui razionali, ma perchè non la radice a indice pi greco?? (non in questo esercizio, però...)

[Tibor Gallai]

Allora: l'indice di un radicale è un intero positivo, per definizione di radicale. Fine.

Che il libro abbia sbagliato a scrivere il testo e/o il risultato, trascurando gli x negativi, è un altro discorso, ed è una prerogativa dei libri fatti male.

[pak-man]

Il libro è chiaramente sbagliato: certo che esistono radici con indice non intero!
Effettivamente $ $\sqrt[k]{n}=n^{\frac{1}{k}} $ dunque se $ k\ne0 $ la scrittura ha senso....

[Tibor Gallai]

Il libro è chiaramente sbagliato: certo che esistono radici con indice non intero!

Non aggiungiamo confusione alla confusione!
La definizione di radicale impone che l'indice di radice sia un intero positivo.
Inoltre, una notazione alternativa per $ ~\displaystyle \sqrt[n]x $ è $ ~\displaystyle x^{\frac 1 n} $.
Ma questo non autorizza a dire che allora si può sempre passare da radicali a esponenti, e viceversa, semplicemente invertendo l'indice. La regola che l'indice di radice sia un intero positivo resta!

[pak-man]

pardon...la possibilità di cambiare scrittura mi ha tratto in inganno

[Federiko]

Scusate, ma se noi abbiamo $ \sqrt[x]{3}<9 $ la soluzione non è x maggiore di 2?? E quindi anche $ x=\frac{13}{2}\ ; \ x=\pi $ ecc.
La funzione $ f(x)=\sqrt[x]{3} $ è continua, no?