Pons Asinorum
Pons Asinorum
Con Pinocchio asino ci sono altri 99 asini perfettamente uguali a lui che aspettano di essere portati al mercato. Finché Pinocchio sta con loro, gli asini si rifiutano di camminare e devono essere trasportati, ma ogni viaggio costa una moneta d’oro al proprietario Mangiafuoco. Se Pinocchio é giá trasportato, gli altri si rassegnano e camminano. Mangiafuoco sa che Pinocchio durante il suo trasporto si ritrasforma in burattino e se ció avviene, anche gli asini che sono con lui ridiventano bambini. Il numero degli asini trasportati in un viaggio é arbitrario. Sul mercato Mangiafuoco riceve una moneta d’oro per ogni asino venduto. Al massimo quante monete d’oro puó guadagnare Mangiafuoco?
Si definisca $ a_i $ il numero di asini trasportati nell'$ i $-esimo passo e sia $ g(i) $ il guadagno totale quando pinocchio si trova nell'$ i $-esimo gruppo; il guadagno così definito equivale a $ g(i)=100-a_i-i $ (infatti Mangiafuoco perderà il carico $ a_i $ e le monete investite per il trasporto) . Chiaramente bisogna massimizzare il guadagno sicuro ovvero deve essere $ g(i)=g(i-1) $ da cui $ 100-a_i-i=100-a_{i-1}-i+1\rightarrow a_i=a_{i-1}-1 $. Essendo costante il guadagno all'i-esimo passo, esso risulterà in particolare uguale a quello al primo passo $ g(1)=100-a_1-1=99-a_1 $. Per concludere basta notare che per avere il guadagno massimo sicuro si deve minimizzare il termine $ a_1 $ con la condizione $ a_1+\dots +a_n\geq 100\rightarrow a_1(a_1+1)/2\geq 100 $; il più piccolo $ a_1 $ che la soddisfa è $ a_1=14 $, il guadagno cercato è quindi $ g(1)=99-14=85 $. Spero sia tutto chiaro.
grazie mille per la spiegazione e per la pazienza 