Una funzione è definita sugli interi positivi da:
$ $f(1)=1$ $
$ $f(3)=3$ $
$ $f(2n)=f(n)$ $
$ $f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)$ $
$ $f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)$ $
per tutti gli interi positivi $ $n$ $. Trovare il numero di interi $ $1\le n \le 2008$ $ tali che $ $f(n)=n$ $
f(n)=n
Sia $ n_{(2)} $ la rappresentazione binaria di $ n, \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} $.
Sia $ \overline{n_{(2)}} $ la rappresentazione binaria di $ n $ "scritta al contrario". (cioè ha le cifre di $ n_{(2)} $ lette da destra verso sinistra).
E' facile mostrare per induzione che $ (f(n))_{(2)}=\overline{n_{(2)}}, \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} $, dall'ipotesi che è verificata per $ n \in \{1,2,3\} $.
Stiamo cercando quindi tutti i numeri palindromi in base 2 minori di 2009, che ne sono esattamente 92.
(Per esempi molto più accurati di palindromi, vedi qui..
)
Sia $ \overline{n_{(2)}} $ la rappresentazione binaria di $ n $ "scritta al contrario". (cioè ha le cifre di $ n_{(2)} $ lette da destra verso sinistra).
E' facile mostrare per induzione che $ (f(n))_{(2)}=\overline{n_{(2)}}, \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} $, dall'ipotesi che è verificata per $ n \in \{1,2,3\} $.
Stiamo cercando quindi tutti i numeri palindromi in base 2 minori di 2009, che ne sono esattamente 92.
(Per esempi molto più accurati di palindromi, vedi qui..
)The only goal of science is the honor of the human spirit.
