Disuguaglianze

[GioacchinoA]

buonasera a tutti! Volevo chiedervi consigli su due disuguaglianze.
Spero che per voi non siano molto banali

1. Provare che per $ n \in N $ risulta :
$ $ \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + ... + \dfrac{1}{3n+1} > 1 $ $

2. Provare che per $ n \in N \wedge n>1 $ risulta :
$ $ \dfrac{1* 3* 5 ... (2n-1)}{2*4*6*...*(2n)} < \dfrac{1}{\sqrt{3n+1}} $ $

Del primo vi chiedo un aiuto, del secondo ho trovato una soluzione ma penso ci sia una più veloce e vi prego di farmela notare
Grazie per la vostra disponibilità!
[riscritto in Latex]

[pak-man]

1. $ $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n+1}>1 $
Passo base: $ $n=0\Rightarrow1+\frac{1}{2}+\cdots>1 $ è vera
Ipotesi induttiva: è vera la disuguaglianza per un certo intero $ ~m $
Dimostriamo che è vera per $ ~n=m+1 $:
$ \frac{1}{m+2}+\frac{1}{m+3}+\cdots+\frac{1}{3m+1}+\cdot+\frac{1]{3m+4}>1 $
Poiché per ipotesi $ $\frac{1}{m+2}+\cdots+\frac{1}{3m+1}>1-\frac{1}{m+1} $ allora resta da dimostrare che
$ $\frac{1}{3m+2}+\frac{1}{3m+3}+\frac{1}{3m+4}>\frac{1}{m+1} $
$ (m+1)((3m+2)(3m+3)+(3m+2)(3m+4)+(3m+3)(3m+4))>(3m+2)(3m+3)(3m+4) $
$ 27m^3+81m^2+80m+26>27m^3+81m^2+78m+24 $
$ 2m+2>0 $
che è vera perché $ ~m\in\mathbb{N} $

[GioacchinoA]

Grazie per la risposta.
Ora ho capito come dovevo fare.

Per la seconda invece? va bene come l'ho fatta io? La riscrivo in $ \LaTeX $
$ $ \dfrac{1* 3* 5 * ... *(2n-1)}{2*4*6*...*(2n)} < \dfrac{1}{\sqrt{3n+1}} $ $

per $ n=2 $ risulta verificata (infatti $ $\dfrac{3}{8} < \dfrac{1}{\sqrt{7}}$ $)

Passo induttivo. Pongo $ n=m-1 $ per cui ottengo
$ $\dfrac {1*3*5*...* (2m-3)}{2*4*6*...*(2m-2)} < \dfrac{1}{\sqrt{3m-2}}$ $
Ora moltiplico per $ $\dfrac{2m-1}{2m}$ $ e ottengo
$ $ \dfrac{1*3*5*...*(2m-1)}{2*4*6*...*(2m)} < \dfrac{2m-1}{2m\sqrt{3m-2}}$ $

[GioacchinoA]

Per $ m>1 $ risulta $ $ \dfrac{2m-1}{2m\sqrt{3m-2}} < \dfrac{1}{\sqrt{3m+1}} $ $ dunque ottengo la tesi