Secondo voi è vera questa disuguaglianza?

[WiZaRd]

$ \displaystyle \sum_{cyc}\left(x_{1}x_{n}\prod_{i=2}^{n-1}x_{i}\right)\leqslant\sum_{i=1}^{n}x_{i} $

Secondo voi questa disuguaglianza è vera oppure no?

Poiché forse ho sbagliato la notazione nel compattare la scrittura, quello che ho in animo di significare, con la precedente notazione compatta, limitandomi al caso $ n=3 $, è:
$ x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} \leqslant x_{1} + x_2 + x_{3} $

Il mio problema è che non riesco né a provarla né a confutarla.

[Alex90]

Allora se ho capito bene a sinistra vuoi tutti i possibili prodotti di $ n-1 $ elementi in un insieme di $ n $ elementi, quindi lo puoi scrivere come

$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{\displaystyle \prod_{j=1}^{n} x_j}{x_i} \right ) \le \sum_{k=1}^{n} x_k $

Comunque non credo sia vera...per esempio nel caso con 3 elementi prendi 100.000, 1 e 1...

[Nonno Bassotto]

Sempre limitandomi al caso n=3 ti dò un'altro motivo per cui la disuguaglianza non può essere vera. Il lato sinistro è un polinomio omogeneo di grado 2 nelle x_i, quello destro di grado 1. Non ci può mai essere una tale disuguaglianza perché se moltiplichi tutte le x_i per un fattore comune t, il lato sinistro è moltiplicato per t^2, quello destro solo per t. Dunque la disugualianza fallirà per t abbastanza grande. Questo è un principio piuttosto generale che conviene tenere presente quando si cerca di vedere se una disuguaglianza può valere.

Fra parentesi esistono delle disugaglianze simili a quella che cerchi tu. Prendi n numeri x_1, .. x_n positivi e chiama s_k la media aritmetica tra tutti i prodotti distinti di k di essi. Allora
$ \sqrt[n]{s_n} \leq \dots \leq \sqrt[2]{s_2} \leq \sqrt[1]{s_1}. $

Come vedi il primo e ultimo termine sono esattamente la media geometrica e quella aritmetica (perché c'è un unico prodotto di n elementi), dunque questa disuguaglianza generalizza AM-GM. Nel caso n=3 si ha proprio
$ s_2 = (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)/3 $

$ s_1 = (x_1+ x_2 + x_3)/3 $

dunque la disuguaglianza è un po' simile alla tua, ma le radici che compaiono rendono i termini tutti di grado 1, facendo sì che l'obienzione che ti ho fatto sopra non valga. Queste sono note come disuguaglianze di Newton. Dimostrarle è un ottimo (non facile) esercizio, che sicuramente è già stato proposto nel forum.
Ciao

[WiZaRd]

Innanzitutto vi ringrazio per le risposte.
In secondo luogo, ieri sera ho commesso un errore nel digitare la formula: intendevo scrivere
$ \displaystyle \sum_{cyc}\left(x_{1}x_{n}\prod_{j=1}^{n-1}x_{j}^{0}\right)\leqslant\sum_{j=1}^{n}x_{j} $
ma supponego che anche così sia scorretto: vero?
Inoltre stamane ero arrivato a capire il livello di stro***ta che avevo scritto prendendo $ [tex] $n=2$ [tex] $ e $ x_{1}=3, x_{2}=8 $.
Infine, vi spiego perché ho posto la domanda idiota di cui in oggetto nel presente topic: in questo topic da MathLinks, nel secondo post si pone $ q=ab+ac+bc\leqslant3 $, partendo da $ a+b+c=3 $, quindi $ ab+bc+ac\leqslant a+b+c $, donde la mia domanda.

[Nonno Bassotto]

è esattamente la disuguaglianza che ti ho postato. se la somma degli x_i è 3, s_1 è al massimo 1, dunque s_2 è al massimo 1, da cui quello che ti serve.