le regioni del poligono

[iademarco]

Sia P un poligono convesso avente n vertici, tale che nessuna terna di diagonali concorra in un punto.
Quanti sono complessivamente i punti d'intersezioine tra le varie diagonali?
In quante regioni viene suddiviso P tracciando tutte le diagonali?
per la prima domanda, si accende subito la ...
per la seconda purtroppo, non mi viene niente in mente...
qualche suggerimento??

[iademarco]

non c'è nessun volenteroso che mi aiuta?
dai datemi qualche aiutino please

[julio14]

La prima domanda è l'hint per la seconda. Cerca di capire come sfruttare ciò che hai trovato.

Ah, btw, facendo questo problema ho trovato una simpatica identità (prendere la strade più semplici è troppo semplice): $ $\sum_{i=1}^ni\cdot\left(n+1-i\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}6 $

[giggiotb]

si infatti,risolvendo la prima parte del probolema viene anche a me...scusa,ma in che senso prendere le strade più semplici è troppo semplice?esiste anche qualche strada più semplice per risolvere il problema?se si la puoi mettere?xke a me proprio non viene...

[iademarco]

scrivo come ho risolto la prima domanda, perchè non riesco a vedere il nesso con la seconda domanda
ogni intersezione si può considerare come il punto d'incontro delle diagonali di un quadrilatero. dato che ogni quadrilatero produce solamente un punto d'intersezione, possiamo considerare il problema come: quanti quadrilateri possono formarsi all'interno del poligono? e quindi la soluzione è $ n\choose 4 $

[julio14]

Nel senso che che la strada più semplice per fare il primo punto corrisponde alla parte destra dell'identità più un fattore n/4, la strada più contorta è la parte sinistra (sempre con il fattore n/4).
Comunque risolta la prima parte, la seconda è solo un'idea+conti.

[giggiotb]

Nel senso che che la strada più semplice per fare il primo punto corrisponde alla parte destra dell'identità più un fattore n/4, la strada più contorta è la parte sinistra (sempre con il fattore n/4).
Comunque risolta la prima parte, la seconda è solo un'idea+conti.

Non riesco a capire quale sia la differenza..cmq io ho ragionato considerando le diagonali uscenti da un vertice e per ognuna di esse calcolare le intersezioni ke ha con le altre e mi è venuta la sommatoria indicata a sinistra dell'identità..svolgendo i prodotti,sviluppandoli e raggruppandoli ho trovato ke per ogni vertice,le sue diagonali hanno (n-2)(n-3)(n-4)/6 intersezioni cn le altre...ora però sorge un piccolo problema:per trovare il totale degli incontri,basta moltiplicare per il numero dei vertici,e poi,dato ke ogni punto di intersezione viene considerato 4 volte,dividere per 4;quindi il numero totale di intersezioni nel poligono è: n(n-2)(n-3)(n-4)/24;questo numero non è però certamente divisibile per 24:infatti se n è dispari solo (n-3) è pari!cosa c'è di sbagliato nel ragionamento?
Per iademarco:come fa a venirti (n su 4)?
PS scusate se non uso il latex...

[julio14]

Avrai sbagliato i conti. Io ho iniziato con il metodo che mi è parso di capire essere il tuo, ho trovato $ $\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}6 $ (nel problema si ritrova l'identità di sopra ma con n-3, la differenza è solo un problema di indici) e ho aggiunto n/4, trovando così $ $\binom n4 $ e notando quindi che si poteva fare molto più in fretta come ha fatto iademarco.

[giggiotb]

eh già...ragionando come ha fatto iademarco si arriva moooolto prima al risultato...

[iademarco]

e per la seconda domanda??

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

2) La formula ricorsiva si ottiene guardando quandi punti intersecano le diagonali del poligono di n lati con le diagonali che partono dal punto n+1: Numeriamo i vertici in senso antiorario da 1 a n+1 uniamo n+1 a i (dove i va da 2 a n-1) allora questa diagonale interseca (i-1)(n-i) punti le anltre e per ogni punti di intersezione si aggiunge un'area, più bisogna sommare le n-1 aree che si formano nel triangolo di vertici 1, n, n+1, da cui:

$ \displaystyle P_{n+1} = P_{n} + \sum_{i=2}^{n-1} (i-1)(n-i) + n-1= P_{n} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} + n-1 $

con $ P_3 = 1 $ da cui si ricava:

$ \displaystyle P_{n} = \sum_{i=1}^{n-2} \frac{i^3+5i}{6} = \frac{(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)}{24} $