Nazionale 96

[mod_2]

Fra i triangoli che hanno un lato l fissato e area S assegnata, si determino quelli per i quali il prodotto delle tre altezze è massimo.

Il mio dubbio: si può risolvere con l'affinità? In tal caso, come lo fareste?

[exodd]

tutti i triangoli tali che il prodotto fra i due lati "liberi" sia minimo e che abbia base e altezza fissata
a prima impressione verrebbe da dire un triangolo isoscele, ma in realtà dipende dai valori della base e dell'altezza....

\OT mod! da quanto tempo! [/tex]

[Tibor Gallai]

Il mio dubbio: si può risolvere con l'affinità? In tal caso, come lo fareste?

On topic:
no, le affinità non conservano le altezze (né il loro prodotto).

[mod_2]

@exodd
Sì a prima vista avevo detto la stessa cosa, ma...
dai, visto che ci sei, finisci pure la dimostrazione!

Già, quanto tempo!

@Tibor Gallai
Grazie mille!

[exodd]

@exodd
Sì a prima vista avevo detto la stessa cosa, ma...
dai, visto che ci sei, finisci pure la dimostrazione!

era solo un pretesto per salutarti, lo sai che non mi piace la geometria XD
comunque
possiamo dire che i triangoli ottusangoli li possiamo escludere dal principio
dobbiamo studiare i casi in cui un angolo alla base va da 90° fino ad un angolo (acuto) tale che il triangolo diventi isoscele

adesso entriamo nel teorico: supponendo che il prodotto tra i due lati liberi diminuisca (o aumenti) passando dal triangolo rettangolo a quello isoscele, vuol dire che il triangolo cercato è o quello rettangolo o quello isoscele
chiamando a la base e h l'altezza, nel caso del triangolo rettangolo il prodotto dei lati è
$ h*\sqrt{h^2+a^2} $
mentre nel caso del triangolo isoscele il prodotto è
$ h^2+a^2/4 $

si vede che sono equivalenti i casi se
$ a^2/8=h^2 $

se è maggiore, il prodotto del triangolo isoscele è maggiore
se è minore, il prodotto del triangolo rettangolo è maggiore



............ ho premesso che non so minimamente se sia giusto il procedimento?

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

piu semplicemente mettiamo che AB siano fissi e C sia su una retta l parallela ad AB. Chiamiamo K l'intersezione dell' asse di AB con l. Chiamiamo $ \Gamma $ la crf circoscritta a ABK. wlog C e a destra di P, allora chiamato Q l'intersezione di AP con $ \Gamma $ abbiamo $ \angle AKB = \angle AQB > \angle APB $ ma allora $ \displaystyle AC \cdot AB = \frac{[ABC]}{\sin \angle BCA} > \frac{[AKC]}{\sin \angle BKA} $ quindi il minimo è quando $ C \equiv K $.

[exodd]

piu semplicemente mettiamo che AB siano fissi e C sia su una retta l parallela ad AB. Chiamiamo K l'intersezione dell' asse di AB con l. Chiamiamo $ \Gamma $ la crf circoscritta a ABK. wlog C e a destra di P, allora chiamato Q l'intersezione di AP con $ \Gamma $ abbiamo $ \angle AKB = \angle AQB > \angle APB $ ma allora $ \displaystyle AC \cdot AB = \frac{[ABC]}{\sin \angle BCA} > \frac{[AKC]}{\sin \angle BKA} $ quindi il minimo è quando $ C \equiv K $.

sicuro?
io ho trovato alcuni casi in cui il triangolo giusto è quello rettangolo...

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

sicuro?
io ho trovato alcuni casi in cui il triangolo giusto è quello rettangolo...

tipo?

[mod_2]

quando l'altezza è minore della metà della base AB

[SkZ]

partendo dallo schema di Gabriel.
Dato che un lato e l'area sono fissati anche un'altezza lo e' ergo e' da massimizzare il prodotto delle altre 2.
dato che $ $h=2S/b $, massimizzare l'altezza significa minimizzare la sua base.
si vede facilmente che quindi il triangolo di massimo prodotto delle altezza deve avere il vertice nella proiezione del lato AB sulla retta e per simmetria possiamo ridurre alla meta' sx di essa
nei 2 estremi A' e K il prodotto delle altezze vale
$ $P_{A'}= \frac{4S^2l}{\sqrt{l^4+4S^2}}\qquad P_K=\frac{32S^3l}{l^4+16S^2} $

letto quanto detto da mod_2
$ $\frac{P_{A'}}{P_K}=\frac{1}{8S}\frac{l^4+16S^2}{\sqrt{l^4+4S^2} }<1 $ se $ ~l^4<32S^2 $

cmq considerati gli angoli alla base $ ~\alpha $ e $ ~\beta $. si vede che nella configurazione del triangolo isoscele (vertice in K) se il primo aumento di poco, l'altro decresce della stessa quantita'.
Dato che il prodotto delle altezze e' proporzionale al prodotto dei loro seni, se si analizza come varia questo prodotto variando di poco gli angoli e dividendo per il valore invariato si ha
$ $\frac{ \sin{(\alpha+\epsilon)} \sin{(\alpha-\epsilon)} } {\sin^2{\alpha}} =1-\left(1+\frac{1}{\tan^2{\alpha}}\right)\sin^2{\epsilon}<1 $
quindi muovendosi dal triangolo isoscele il prodotto dovrebbe sempre diminuire

PS; nel caso di angoli uguali (vertice in K) si ha $ $\tan{\alpha}=\frac{4S}{l^2} $
per curiosita' di chi volesse
$ $\textrm{d}\beta=- \frac{\tan^2{\beta}}{1+\tan^2{\beta}} \frac{1+\tan^2{\alpha}} {\tan^2{\alpha}}\textrm{d} \alpha $
in K $ $\textrm{d}\beta=- \textrm{d} \alpha $, in A' ($ ~\beta=90 $) $ $\textrm{d}\beta=- \frac{1+\tan^2{\alpha}} {\tan^2{\alpha}}\textrm{d} \alpha=-(\frac{l^2}{2S}+1) \textrm{d} \alpha $

$ $\tan{\beta}= \frac {2S\tan{\alpha}}{l^2\tan{\alpha}-2S} $

[SkZ]

ok, sta cosa e' pazzesca


metendo tutto assieme si ha
$ $P\propto\frac{\lambda^2\tan^4{\alpha} } {(1+\tan^2{\alpha})[(1+\lambda^2)\tan^2{\alpha}-2\lambda\tan{\alpha}+\lambda^2] } $
con $ $\lambda=\frac{2S}{l^2} $ e i valori posibili sono $ ~\lambda<\tan{\alpha}<2\lambda $
sta bestia ha massimo quando $ ~\lambda\tan^3{\alpha}-(1+2\lambda^2)\tan^2{\alpha}+3\lambda\tan{\alpha}-2\lambda^2=(x-2\lambda)(\lambda x^2-x+\lambda)=0 $
per $ ~\lambda>1/2 $ ha il massimo quando il vertice e' in K
altrimenti cade in mezzo. Per $ ~\lambda=.25<8^{-1/2} $ il massimo e' a $ ~\tan{\alpha}=.268\quad{\alpha}=15 $

edit:
appunto se $ ~\lambda<.5 $ si hanno 3 soluzioni positive
$ $\tan{\alpha}=\frac{1-\sqrt{1-4\lambda^2}}{2\lambda} \quad \tan{\alpha}=2\lambda\quad \tan{\alpha}=\frac{1+\sqrt{1-4\lambda^2}}{2\lambda} $
cmq a noi interessano solo i valori $ ~0<\tan{\alpha}\leq 2\lambda $, data la simmetria del problema
Notare che $ $\lambda<\frac{1-\sqrt{1-4\lambda^2}}{2\lambda} <2\lambda $
ergo vertice in A' non e' mai soluzione

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

lol avete ragione, ho considerato solo quando il triangolo è acutangolo, quindi se il triangolo è ottusangolo il minimo lo abbiamo quando l'angolo in C vale 90 poiche il suo seno è il massimo. Quindi per d < AB/2 abbiamo che C è l'intersezione della crf di diametro AB con l e per d >= AB/2 C è K.

[karl]

Francamente non vedo tutti questi gran calcoli.L'altezza relativa ad AB è data da
$ \displaystyle h_c=\frac{2S}{c}=\frac{2S}{l} $
e quindi si tratta di massimizzare il prodotto delle altre due altezze:
$ \displaystyle h_a=\frac{2S}{a},h_b=\frac{2S}{b} $
Pertanto : $ \displaystyle h_a\cdot h_b=\frac{4S^2}{ab} $
Ma $ \displaystyle a \cdot b=\frac{2S}{\sin\gamma} $ e dunque $ \displaystyle h_a \cdot h_b=2S\sin\gamma $
Poiché S è noto, tale prodotto è massimo per $ \displaystyle \gamma=\frac{\pi}{2} $ ovvero quando ABC è rettangolo in C.
Il terzo vertice C si ottiene come intersezione tra la semicirconferenza di diametro AB=l
e la retta parallela ad AB e distante da essa di $ \displaystyle \frac{2S}{l} $
Il problema ha soluzioni per $ \displaystyle \frac{2S}{l}\leq \frac{l}{2} $ ovvero per $ \displaystyle l \geq 2\sqrt{S} $.Per $ l = 2\sqrt{S} $ ABC diventa isoscele oltre che rettangolo.

[SkZ]

Francamente non vedo tutti questi gran calcoli.

nessuna, ma avevo bisogno di distrarmi/scaricarmi