Edit: come mi ha fatto notare kn, il testo originale dell'imo1998 era RHS|LHS, l'opposto..
cmq la soluzione non dovrebbe cambiare di molto..imo98/4 divisibilità
imo98/4 divisibilità
Trovare tutti gli $ (x,y) \in (\mathbb{N}_0)^2 $ tali che $ x^2y+x+y|xy^2+y+7 $
Edit: come mi ha fatto notare kn, il testo originale dell'imo1998 era RHS|LHS, l'opposto.. cmq la soluzione non dovrebbe cambiare di molto..
Edit: come mi ha fatto notare kn, il testo originale dell'imo1998 era RHS|LHS, l'opposto..
cmq la soluzione non dovrebbe cambiare di molto..
Ultima modifica di jordan il 17 apr 2009, 20:16, modificato 1 volta in totale.
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Re: imo98/4 divisibilità
Io ho iniziato così
(Trattando a parte i casi in cui o $ $x$ $ o $ $y$ $ va a $ $0$ $)
Pongo $ $x^2y+x+y=z$ $ e comincio a giocare con le congruenze.
Siccome $ $x^2y+x+y=z$ $ banalmente $ $x^2y+x+y \equiv 0 \pmod z$ $.
Naturalmente anche $ $xy^2+y+7 \equiv 0 \pmod z$ $ essendo $ $z$ $ un suo divisore.
Moltiplico $ $y$ $ alla prima e ottengo $ $x^2y^2+xy+y^2 \equiv 0 \pmod z$ $ da cui $ $x^2y^2 \equiv -xy-y^2 \pmod z$ $.
Moltiplico $ $x$ $ alla seconda e ottengo $ $x^2y^2+xy+7x \equiv 0 \pmod z$ $ da cui $ $x^2y^2 \equiv -xy-7x \pmod z$ $.
Quindi abbiamo $ $y^2 \equiv 7x \pmod z$ $ cioè $ $z|y^2-7x$ $.
Adesso, sappiamo che
$ $z|xy^2+y+7$ $
$ $z|xy^2-7x^2$ $
dunque $ $z|7x^2+y+7$ $
All'inizio dicevamo che $ $x^2y+x+y=z$ $ e quindi $ $7x^2+y+7 \ge x^2y+x+y$ $ da cui $ $\dfrac{7}{x} \ge xy+1-7x$ $.
Ora se $ $xy+1-7x \ge 0$ $ cioè $ $1 \ge x(7-y)$ $. allora $ $x$ $ può avere solo i valori da 1 a 7 (Se va oltre il 7, $ $\dfrac{7}{x}<1$ $, e nel caso in cui $ $xy+1-7x=0$ $, $ $x$ $ deve valere 1).
Se, invece, $ $xy+1-7x<0$ $ e cioè $ $1<x(7-y)$ $ allora $ $x$ $ può valere (teoricamente) quello che gli pare ma $ $y$ $ non può superare 7.
Quindi (sperando di aver fatto tutti i passaggi giusti) se adesso andassi a fare bovinamente tutti i casi in cui $ $x \le 7$ $ o $ $y<7$ $ dovrei (sempre teoricamente parlando) trovare tutte le soluzioni.
Qualcuno mi aiuta a concludere in un modo più furbo?
(Trattando a parte i casi in cui o $ $x$ $ o $ $y$ $ va a $ $0$ $)
Pongo $ $x^2y+x+y=z$ $ e comincio a giocare con le congruenze.
Siccome $ $x^2y+x+y=z$ $ banalmente $ $x^2y+x+y \equiv 0 \pmod z$ $.
Naturalmente anche $ $xy^2+y+7 \equiv 0 \pmod z$ $ essendo $ $z$ $ un suo divisore.
Moltiplico $ $y$ $ alla prima e ottengo $ $x^2y^2+xy+y^2 \equiv 0 \pmod z$ $ da cui $ $x^2y^2 \equiv -xy-y^2 \pmod z$ $.
Moltiplico $ $x$ $ alla seconda e ottengo $ $x^2y^2+xy+7x \equiv 0 \pmod z$ $ da cui $ $x^2y^2 \equiv -xy-7x \pmod z$ $.
Quindi abbiamo $ $y^2 \equiv 7x \pmod z$ $ cioè $ $z|y^2-7x$ $.
Adesso, sappiamo che
$ $z|xy^2+y+7$ $
$ $z|xy^2-7x^2$ $
dunque $ $z|7x^2+y+7$ $
All'inizio dicevamo che $ $x^2y+x+y=z$ $ e quindi $ $7x^2+y+7 \ge x^2y+x+y$ $ da cui $ $\dfrac{7}{x} \ge xy+1-7x$ $.
Ora se $ $xy+1-7x \ge 0$ $ cioè $ $1 \ge x(7-y)$ $. allora $ $x$ $ può avere solo i valori da 1 a 7 (Se va oltre il 7, $ $\dfrac{7}{x}<1$ $, e nel caso in cui $ $xy+1-7x=0$ $, $ $x$ $ deve valere 1).
Se, invece, $ $xy+1-7x<0$ $ e cioè $ $1<x(7-y)$ $ allora $ $x$ $ può valere (teoricamente) quello che gli pare ma $ $y$ $ non può superare 7.
Quindi (sperando di aver fatto tutti i passaggi giusti) se adesso andassi a fare bovinamente tutti i casi in cui $ $x \le 7$ $ o $ $y<7$ $ dovrei (sempre teoricamente parlando) trovare tutte le soluzioni.
Qualcuno mi aiuta a concludere in un modo più furbo?
Appassionatamente BTA 197!
