Disuguaglianza su un polinomio a tre variabili

[jordan]

Sia definito $ \displaystyle P(x,y,z): \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}: (x,y,z) \to a_1(\sum_{sym}{x^3})+ a_2 (\sum_{sym}{x^2y})+a_3(\sum_{sym}{xyz}) $, dove $ (a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}^3 $ sia fissato.

Mostrare che se $ \displaystyle \min\{P(1,1,1),P(1,1,0),P(1,0,0)\} \ge 0 $ allora $ \displaystyle P(x,y,z) \ge 0, \forall (x,y,z) \in (\mathbb{R}^+)^3 $.