problema circonferenza....

[sfiber]

ciao a tutti!!
avrei un problema di geometria da proporre..

in una data circonferenza di centro O e di raggio r, si conduca un diametro AB e la corda MN perpendicolare ad AB e alla distanza dal centro O eguale ai 7/32 di r.
determinare il raggio di una circonferenza tangente ad AB, a MN e alla circonferenza data, con il centro situato dalla stessa parte di O rispetto a MN.

proprio non riesco a venirne fuori

[Giulius]

Prova a tracciare la bisettrice dell'angolo retto formato da AB e MN e che sta tutto dalla stessa parte di O rispetto a MN, il centro della circonferenza che cerchi sta lì...

[sfiber]

Prova a tracciare la bisettrice dell'angolo retto formato da AB e MN e che sta tutto dalla stessa parte di O rispetto a MN, il centro della circonferenza che cerchi sta lì...

mmm si, questo lo avevo notato...
ma poi non riesco ad andare avanti!!
e ci ho lavorato un pezzo con il mio prof, ma niente!

[Giulius]

Prendo MN in OB. Chiamando H l'intersezione di AB e MN, chiamando K l'intersezione della circonferenza data con la bisettrice di MNA, chiamando R=AB, r il raggio incognito e x l'angolo HOK, ho per il th dei seni applicato ad OHK:
$ R/sin(45°)=(r+r \surd 2)/sin(x)=7R/(32sin(135°-x)) $
che rappresenta un sistema di due equazioni nelle due incognite x (o meglio sin(x)) e r e nel parametro R.

[gst_113]

mi pare che si possa risolvere anche con la geometria analittica, però mi vengono numeri brutti.

[sfiber]

...comunque è un problema di seconda media, quindi teoricamente si dovrebbe risolvere usando Pitagora ed Euclide...niente di più....

[karl]

Le circonferenze cercate sono due: una piccola ,disegnata in rosso
sulla figura, ed una grande,Una risoluzione elementare del problema si può
ottenere applicando Pitagora al triangolo TSS' ( come da figura):
$ \displaystyle R^2+(R-\frac{7}{32}r)^2=(R+r)^2 $
dove R è il raggio incognito.
Risolta l'equazione in R si hanno i due risultati:
$ \displaystyle R=(\frac{39\mp 8\sqrt{39}}{32})r $

N.B. Questo tipo di quesito non è gradito sul Forum !

[gst_113]

ah già, la circonferenza esterna... mi dimentico sempre qualcosa
...effettivamente con quella è più facile...

[kn]

$ \displaystyle R^2+(R-\frac{7}{32}r)^2=(R+r)^2 $
dove R è il raggio incognito.

Non dovrebbe essere $ \displaystyle R^2+\left(R-\frac{7}{32}r\right)^2=\left(r-R\right)^2 $?
Inoltre così le soluzioni sono molto più carine... Se Maxima non dà i numeri dovrebbero essere $ \displaystyle R=-\frac{65}{32}\cdot r $, assurda, e $ \displaystyle R=\frac{15}{32}\cdot r $.

La soluzione dovrebbe essere quindi $ \displaystyle R=\frac{15}{32}\cdot r $

BONUS: Trovare una costruzione con riga e compasso per trovare il centro della circonferenza conoscendo la posizione di H

[karl]

Penso che l'equazione di kn si riferisca alla circonferenza interna .Per quella esterna l'equazione è diversa ed è quella che ho indicato .Almeno credo ....
P.S.
Chi è D ?

[kn]

La mia equazione si riferiva alla circonferenza interna...

Chi è D ?

Scusa ero fuso... Volevo scrivere H (come definito da Giulius, cioè l'intersezione tra AB e MN), cioè conoscendo la distanza di MN dal centro.

Volendo si può cercare una costruzione anche per il centro della circonferenza esterna