Matrici in Z_p a determinante nullo

[jordan]

Premessa:
Una matrice quadrata A di ordine $ n \in \mathbb{N}_0 $ è una tabella di numeri con $ n $ righe e $ n $ colonne, in cui l'elemento $ a_{i,j} $, con $ 1 \le i,j \le n $, rappresenta l'elemento della $ i $-esima riga e $ j $-esima colonna.
Indichiamo con $ |A| $ il determinante della matrice quadrata A di ordine $ n $; esistono vari metodi equivalenti per il suo calcolo (vedi sezioni 2 e 3 da qui ).

Problema:
Sia $ p \in \mathbb{P}:=\{2,3,5,..\} $ un primo fissato.
Trovare quante sono le matrici quadrate di ordine $ n \in \mathbb{N}_0 $ tali che:
i) $ a_{i,j} \in \mathbb{Z}, \forall 1 \le i,j \le n $
ii) $ 0 \le a_{i,j} < p, \forall 1 \le i,j \le n $
iii) $ p $ divide $ |A| $.

(Proposto da un utente venturo a questo forum)

[Gebegb]

Bellissimo problema!