Provo a risolvere quello del triangolo.
Indichiamo con $ A_i,B_i,C_i $ la probabilità di trovarsi nel vertice $ ~A $, $ ~B $, $ ~C $ al tempo $ ~i $.
Chiaramente abbiamo che
$ \left\{\begin{array}{l}A_i=\displaystyle\frac{1}{2}B_{i-1}+\frac{1}{2}C_{i-1}\\B_i=\displaystyle\frac{1}{2}A_{i-1}+\frac{1}{2}C_{i-1}\\C_i=\displaystyle\frac{1}{2}A_{i-1}+\frac{1}{2}B_{i-1}\end{array}\right. $
Dunque
$ A_{i}=\displaystyle\frac{1}{2}B_{i-1}+\frac{1}{2}C_{i-1}=\frac{1}{4}A_{i-2}+\frac{1}{4}C_{i-2}+\frac{1}{2}C_{i-1}= $
$ =\displaystyle\frac{1}{2}A_{i-2}+\frac{1}{4}C_{i-2}+\frac{1}{4}B_{i-2}=\frac{1}{2}A_{i-1}+\frac{1}{2}A_{i-2} $
Le radici del polinomio associato $ p(x)=2x^2-x-1 $ sono 1 e -1/2, dunque $ A_n=\alpha+\beta\left(-\frac{1}{2}\right)^n $
$ \left\{\begin{array}{l}A_0=1=\alpha+\beta\\A_1=0=\alpha-\displaystyle\frac{1}{2}\beta\end{array}\right. $
Da cui si ricava $ \alpha=1/3 $ e $ \beta=2/3 $
Perciò $ A_n=\displaystyle\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n $ e $ A_{2009}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{2^{2008}}\right) $
Funziona fino a t=4, dunque spero sia giusto
)
