Polinomiale e somma di potenze k-esime (own)

[julio14]

Dimostrare che è sempre possibile scrivere la somma delle prime $ $n $ potenze k-esime con $ $k\in \mathbb{N} $ come una funzione polinomiale in $ $n $.

[Pairo]

Si verifica facilmente che questo è vero per $ \displystyile K = 1 $.
Dimostriamo per induzione che questo è vero per ogni $ \displystyile k $.
Si ha:


$ \displystyile n^{k+1} = \sum_{i=1}^n i^{k+1} - \sum_{i=1}^{n-1} i^{k+1} = \sum_{i=1}^n {(i^{k+1}-(i-1)^{k+1}}})} = \sum_{i=1}^n {p(i)} $ dove $ p(i) $ ha grado $ k $.

Allora possiamo spezzare la sommatoria, ottenendo, con un po' di passaggi al primo membro esattamente la sommatoria richiesta per le potenze k-esime, mentre al secondo membro un polinomio $ p(n) $ per ipotesi induttiva. Inoltre in questo modo si dimostra anche che il polinomio ha grado $ \displaystyle k+1 $

Scusate se non ho formalizzato l'ultima parte della dimostrazione, ma spero che risulti ugualmente chiara in questo modo.

[Tibor Gallai]

Bella la moda dell'"own"...
Io la chiamo moda del self-owned, per ovvi motivi.

Soltanto limitandomi a questo forum, e senza andare troppo indietro nel tempo, in 3 minuti ho trovato:
viewtopic.php?t=7964
viewtopic.php?t=5702

[julio14]

e scusa eh... mi è venuto in mente fuori dal contesto del forum e l'ho messo qui senza farmi tanti problemi, scrivendo own semplicemente perché non sapevo quale altra fonte mettere. Non si vincono premi per i problemi own, non vedo perché dovresti trovare della malizia in chi li posta.

[Tibor Gallai]

non vedo perché dovresti trovare della malizia in chi li posta.

Siamo in due a non vederlo.
Comunque accetto le scuse, anche se non ce n'era bisogno.