sequenza infinita di primi
sequenza infinita di primi
Esista una sequenza infinita di numeri primi $ p_0,p_1,p_2,p_3,\ldots $ tali che $ |p_{n+1}-2p_n|=1 $ per ogni $ n \in \mathbb{N} $?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
No. Supponiamo per assurdo che esisti. 
La successione è crescente, quindi sia WLOG $ \displaystyle~p_0>3 $: abbiamo che $ \displaystyle~|p_{n+1}-2p_n|\equiv|p_{n+1}+p_n|\equiv1\pmod3 $, quindi dato che $ \displaystyle~p_{n+1} $ e $ \displaystyle~p_n $ sono primi deve essere $ \displaystyle~p_{n+1}\equiv p_n $ (se fosse $ \displaystyle~p_{n+1}\equiv -p_n $ sarebbe $ \displaystyle~|p_{n+1}+p_n|\equiv0 $).
Se $ \displaystyle~p_0\equiv1\pmod3 $ abbiamo quindi la successione per ricorrenza $ \displaystyle~p_{i+1}=2p_n-1 $ che dà $ \displaystyle~p_n=2^n(p_0-1)+1 $. Ma il termine $ \displaystyle~p_{p_0-1} $ è divisibile per $ \displaystyle~p_0 $: infatti abbiamo $ \displaystyle~p_{p_0-1}=2^{p_0-1}(p_0-1)+1\equiv(p_0-1)+1\equiv0\pmod{p_0} $. Assurdo perché la successione è crescente... Analogamente se $ \displaystyle~p_0\equiv-1\pmod3 $.
La successione è crescente, quindi sia WLOG $ \displaystyle~p_0>3 $: abbiamo che $ \displaystyle~|p_{n+1}-2p_n|\equiv|p_{n+1}+p_n|\equiv1\pmod3 $, quindi dato che $ \displaystyle~p_{n+1} $ e $ \displaystyle~p_n $ sono primi deve essere $ \displaystyle~p_{n+1}\equiv p_n $ (se fosse $ \displaystyle~p_{n+1}\equiv -p_n $ sarebbe $ \displaystyle~|p_{n+1}+p_n|\equiv0 $).
Se $ \displaystyle~p_0\equiv1\pmod3 $ abbiamo quindi la successione per ricorrenza $ \displaystyle~p_{i+1}=2p_n-1 $ che dà $ \displaystyle~p_n=2^n(p_0-1)+1 $. Ma il termine $ \displaystyle~p_{p_0-1} $ è divisibile per $ \displaystyle~p_0 $: infatti abbiamo $ \displaystyle~p_{p_0-1}=2^{p_0-1}(p_0-1)+1\equiv(p_0-1)+1\equiv0\pmod{p_0} $. Assurdo perché la successione è crescente... Analogamente se $ \displaystyle~p_0\equiv-1\pmod3 $.
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
Non c'è nulla di male se capita qualche re fuso, basta segnalarlo. Invece sarebbe ben più strano trovare un imperatore sciolto.
Legge di Hofstadter:"Ci vuole sempre più tempo di quanto si pensi, anche tenendo conto della Legge di Hofstadter."
Il segreto dell'immortalità: essere sempre sinceri e dire "Ripeterò questa frase domani." (Raymond Smullyan)
Il segreto dell'immortalità: essere sempre sinceri e dire "Ripeterò questa frase domani." (Raymond Smullyan)
Era in risposta a:Esatto, mi riferissi proprio a quello.
(comunque non voglio sembrare puntiglioso: era solo una battuta, al massimo una schiacciata)
(comunque non voglio sembrare puntiglioso: era solo una battuta, al massimo una schiacciata)
Legge di Hofstadter:"Ci vuole sempre più tempo di quanto si pensi, anche tenendo conto della Legge di Hofstadter."
Il segreto dell'immortalità: essere sempre sinceri e dire "Ripeterò questa frase domani." (Raymond Smullyan)
Il segreto dell'immortalità: essere sempre sinceri e dire "Ripeterò questa frase domani." (Raymond Smullyan)