Provare che esistono infiniti interi positivi $ n $ tali che $ \phi(n-\phi(n))>\phi(n) $, dove $ \phi(x) $ rappresenta il numero di interi positivi $ \le x $ e coprimi con $ x $.
Qui $ \phi(\cdot) $ rappresenta la funzione di Eulero.
Erdos phi
Erdos phi
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Sia $ n=3\cdot5\cdot2^k $ con $ k\in\mathbb N^+ $.
Allora $ \phi(n)=4\cdot2^k $, quindi $ n-\phi(n)=11\cdot2^k $ e di conseguenza $ \phi(n-\phi(n))=5\cdot2^k>4\cdot2^k=\phi(n) $.
Quindi se $ n=3\cdot5\cdot2^k $, allora $ \phi(n-\phi(n))>\phi(n) $.
Allora $ \phi(n)=4\cdot2^k $, quindi $ n-\phi(n)=11\cdot2^k $ e di conseguenza $ \phi(n-\phi(n))=5\cdot2^k>4\cdot2^k=\phi(n) $.
Quindi se $ n=3\cdot5\cdot2^k $, allora $ \phi(n-\phi(n))>\phi(n) $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Re: Erdos phi
Rilancio il problema:
provare che esistono infiniti interi positivi $ n $ tali che $ 5\phi(n-\phi(n))>7\phi(n) $.
provare che esistono infiniti interi positivi $ n $ tali che $ 5\phi(n-\phi(n))>7\phi(n) $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
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