Sposto in algebra... -- EG
Trovare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tali che
$ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 , f(x \cdot f(y)) = x + f(xy) $
L'unica che ho trovato è $ f:x \rightarrow x + 1 $ , ma la frase "trovare tutte le funzioni" mi dà il sospetto che ne esistano altre!
Voi cosa ne dite?
(Se ricordo bene) dai giochi Enriques
(Se ricordo bene) dai giochi Enriques
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
perchè è in matematica ricreativa?
Domanda: se $ f(f(y))=f(y)+1 $ per poter dire che $ f(x)=x+1 $ devo prima dimostrare che $ f $ è bigettiva?
Domanda: se $ f(f(y))=f(y)+1 $ per poter dire che $ f(x)=x+1 $ devo prima dimostrare che $ f $ è bigettiva?
Ultima modifica di Maioc92 il 31 mag 2009, 12:25, modificato 3 volte in totale.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Non so se sia proprio matematica ricreativa... Comunque...
Innanzitutto, la funzione non può valere costantemente zero: se così fosse, la coppia $ (1, 0) $ smentirebbe le ipotesi.
Esiste dunque $ a $ tale che $ f(a)\ne 0 $. $ x $ varia su tutto $ \mathbb{R} $, dunque anche il secondo membro dell'uguaglianza di partenza: $ f $ è suriettiva.
Esaminando la coppia $ (1, y) $ ottengo: $ f(f(y))=1+f(y) $.
Per la suriettività di $ f $, pongo $ f(y)=z, z \in \mathbb{R} $, e ottengo $ f(z)=1+z $.
Innanzitutto, la funzione non può valere costantemente zero: se così fosse, la coppia $ (1, 0) $ smentirebbe le ipotesi.
Esiste dunque $ a $ tale che $ f(a)\ne 0 $. $ x $ varia su tutto $ \mathbb{R} $, dunque anche il secondo membro dell'uguaglianza di partenza: $ f $ è suriettiva.
Esaminando la coppia $ (1, y) $ ottengo: $ f(f(y))=1+f(y) $.
Per la suriettività di $ f $, pongo $ f(y)=z, z \in \mathbb{R} $, e ottengo $ f(z)=1+z $.
provo a postare la mia per allenarmi ma non sono sicuro sia giusta.
Comunque ecco:
Sostituiamo $ y=0 $ e otteniamo $ f(xf(0))=x+f(0) $. Ponendo $ f(0)=a $, abbiamo che $ f(ax)=x+a $, quindi $ f $ è bigettiva.
Sostituendo invece $ x=1 $ otteniamo $ f(f(y))=f(y)+1 $.
Poichè $ f $ è bigettiva $ f(y)=z $ con $ z\in\mathbb R $.
Pertanto sostituendo abbiamo che $ f(z)=z+1 $ che è l'unica soluzione.
Può andare o c'è qualcosa di sbagliato? Se c'è per favore ditelo perchè mi interessa capire dove ho sbagliato
Comunque ecco:
Sostituiamo $ y=0 $ e otteniamo $ f(xf(0))=x+f(0) $. Ponendo $ f(0)=a $, abbiamo che $ f(ax)=x+a $, quindi $ f $ è bigettiva.
Sostituendo invece $ x=1 $ otteniamo $ f(f(y))=f(y)+1 $.
Poichè $ f $ è bigettiva $ f(y)=z $ con $ z\in\mathbb R $.
Pertanto sostituendo abbiamo che $ f(z)=z+1 $ che è l'unica soluzione.
Può andare o c'è qualcosa di sbagliato? Se c'è per favore ditelo perchè mi interessa capire dove ho sbagliato
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!