Come si può fare (se fa) senza derivate?

[Fedecart]

Trovare per quali valori di k l'equazione
$ \sin^4x+\cos^4x=k $
ammette soluzione.
E' possibile risolvere questo problema senza scomodare l'analisi? Se si, come?

[julio14]

oh yes
$ $\sin^4x=-\frac12\sin^2x\cdot(1-2\sin^2x)+\frac12\sin^2x=-\frac12\cos2x\cdot\sin^2x+\frac12\sin^2x $
$ $\cos^4x=\frac12\cos^2x\cdot(2\cos^2x-1)+\frac12\cos^2x=\frac12\cos2x\cdot\cos^2x+\frac12\cos^2x $
$ $\cos^4x+\sin^4x=\frac12\cos2x\cdot(\cos^2x-\sin^2x)+\frac12(\cos^2x+\sin^2x)=\frac12(\cos^22x+1) $
che ha facilmente valori da 1/2 a 1.

[fph]

Poni $ t=sin^2 x $ e ti sei ridotto a trovare quali valori prende una parabola per $ t \in [0,1] $

[Haile]

Per il valore minimo (che ovviamente sarà comunque positivo) potremmo fare così:

$ $\cos^4(x) + \sin^4(x) = k$ $

$ $(1-sin^2(x))^2 + \sin^4(x) = k$ $

$ $2 \sin^4(x) - 2 \sin^2(x) + (1-k) = 0$ $

Se risolviamo come una biquadratica e imponiamo il discriminante maggiore uguale a zero, otteniamo

$ $\boxed{\frac{1}{2} \leq k}$ $

Ora, ripartendo da

$ $2 \sin^4(x) - 2 \sin^2(x) = k-1$ $

ricordando che $ $\sin^4(x) \leq \sin^2(x)$ $, abbiamo che il LHS è sempre negativo, da cui $ $\boxed{k \leq 1}$ $.

Per cui

$ $\boxed{\frac{1}{2} \leq k \leq 1}$ $


EDIT:
preceduto... vabbè, tre metodi diversi : P

EDIT II: corretto dopo oss. di Julio

[julio14]

gnègnègnè sono arrivato prima io! prrrrrr

edit: pernacchie idiote a parte, la tua dimostrazione che $ $k\le1 $ si basa sul fatto che $ $\sin x+\cos x\le1 $, cosa talvolta falsa.

[Haile]

gnègnègnè sono arrivato prima io! prrrrrr

edit: pernacchie idiote a parte, la tua dimostrazione che $ $k\le1 $ si basa sul fatto che $ $\sin x+\cos x\le1 $, cosa talvolta falsa.

Hai ragione, correggo.

Partendo da

$ $2 \sin^4(x) - 2 \sin^2(x) = k-1$ $

ricordando che $ $\sin^4(x) \leq \sin^2(x)$ $, abbiamo che il LHS è sempre negativo, da cui k<1

Meglio?

[julio14]

Ok ora funziona.
Ah, un'ultima cosa. Hai posto delle limitazioni, ma non hai dimostrato che prende tutti i valori tra 1/2 e 1. Per fare quello devi sostanzialmente passare dal metodo di fph. Oppure dire che è continua e passa da 1/2 e da 1, ma questa è analisi.