Vi propongo questo esercizio trovato su Aritmetica Superiore di Davenport con i miei ragionamenti. Vi chiedo se sono corretti e se si può dire che abbia risolto il problema. Grazie in anticipo
Dimostrare che se $ p $ e $ q $ sono primi dispari $ p^aq^b $ non può essere perfetto.
Se $ p $ e $ q $ sono primi la somma dei divisori di $ p^aq^b $ è $ \sigma(p^aq^b)=(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b) $, quindi bisogna dimostrare che l'uguaglianza $ \sigma (p^aq^b)=2p^aq^b $ è impossibile con le ipotesi fatte in precedenza.
Suppongo che l'uguaglianza possa essere vera e cerco qualche assurdo:
moltiplicando entrambi i membri di $ (1+p+p^2+...+p^a)=2q^b $ per $ p-1 $ si ha: $ p^(a+1)-1=2q^b(p-1) $. Moltiplicando entrambi i membri di $ (1+q+q^2+...+q^b)=p^a $ per $ q-1 $ si ha : $ p^a(q-1)=q^(b+1)-1 $. Sommando membro a membro le uguaglianze ottenute: $ p^a(p+q-1)=q^b(p+q+1) $.
Essendo comprimi sia $ p^a $ e $ q^b $ che $ (p+q-1) $ e $ (p+q+1) $, infatti se $ p+q-1 $ e $ p+q+1 $ avessero un divisore comune allora questo sarebbe $ 2 $, ma ciò è assurdo perchè sia $ p $ che $ q $ sono dispari, dovrà essere $ p^a=p+q+1 $ e $ q^b=p+q-1 $, sottraendo membro a membro : $ p^a-q^b=2 $
Ma guardando $ (1+q+q^2+...+q^b)=p^a $ si vede che $ q $ non può essere che $ 1 $, ma ciò è ovviamente assurdo, quindi $ p $ e $ q $ non possono essere entrambi dispari.
Numeri perfetti dal Davenport
Re: Numeri perfetti dal Davenport
non dovrebbe essere $ $p^a(p+q-1)=q^b(q+2p-2) $?pippo93 ha scritto:Sommando membro a membro le uguaglianze ottenute: $ p^a(p+q-1)=q^b(p+q+1) $
Ok hai ragione, errori di calcolo, cerco di rimediare:
voglio dimostrare che $ p+q-1 $ e $ 2p+q-2 $ sono coprimi. Ipotizzando che abbiano un divisore $ n $ comune si ha che $ p+q-1 \equiv 2p+q-2 (mod n) $ . Ne segue che $ p-1 \equiv 0 (mod n) $ quindi il divisore in comune è pari, ma ciò è assurdo perchè $ p+q-1 $ e $ 2p+q-2 $ sono entrambi dispari. Quindi posso dedurre $ p^a=2p+q-2 $ e $ q^b=p+q-1 $. Moltiplico entrambi i membri della seconda per -2 e la sommo alla prima : $ p^a-2q^b=-q $, ovvero $ p^a=2q^b-q $. Ciò è assurdo perchè il primo membro non è divisibile per $ q $.
PS: scusatemi per il pessimo latex
voglio dimostrare che $ p+q-1 $ e $ 2p+q-2 $ sono coprimi. Ipotizzando che abbiano un divisore $ n $ comune si ha che $ p+q-1 \equiv 2p+q-2 (mod n) $ . Ne segue che $ p-1 \equiv 0 (mod n) $ quindi il divisore in comune è pari, ma ciò è assurdo perchè $ p+q-1 $ e $ 2p+q-2 $ sono entrambi dispari. Quindi posso dedurre $ p^a=2p+q-2 $ e $ q^b=p+q-1 $. Moltiplico entrambi i membri della seconda per -2 e la sommo alla prima : $ p^a-2q^b=-q $, ovvero $ p^a=2q^b-q $. Ciò è assurdo perchè il primo membro non è divisibile per $ q $.
PS: scusatemi per il pessimo latex